 |
Главная |
Операции над множествами. Обозначение множеств и их элементов
 2015-12-07 |
 2477 |
 Обсуждений (0) |
из
5.00
|
Обозначение множеств и их элементов. Равенство множеств.
Подмножество ( включение ). Сумма ( объединение ) множеств.
Произведение ( пересечение ) множеств. Разность ( дополнение )
множеств.Симметричная разность множеств. Свойства
операций над множествами.
Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись a 
R означает, что элемент а принадлежит множеству R , то есть а является элементом множества R . В противном случае, когда а не принадлежит множеству R , пишут a 
R .
Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .
Говорят, что множество А содержится в множестве В ( рис.1 ) или множество А является подмножеством множества В ( в этом случае пишут А 
В), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В . Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: 
А и А А .
Сумма ( объединение ) множеств А и В ( пишется А 
В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В. Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда либо е А ,либо е В .
Произведение ( пересечение ) множеств А и В ( пишется А 
В , рис.2 ) есть множествоэлементов, каждый из которых принадлежит и А , и В. Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда е А и е В .
Разность множеств А и В ( пишется А – В , рис.3 ) есть множествоэлементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В.Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.
Симметричная разность множеств А и В ( пишется А \ В ) есть множество:
А \ В = ( А – В ) ( В – А ).
Свойства операций над множествами:
П р и м е р ы. 1. Множество детей является подмножеством всего населения.
2. Пересечением множества целых чисел с множеством поло-
жительных чисел является множество натуральных чисел.
3. Объединением множества рациональных чисел с множест-
вом иррациональных чисел является множество действи-
тельных чисел.
4. Нуль является дополнением множества натуральных чисел
относительно множества неотрицательных целых чисел.
Множество 
содержится во множестве 
(множество включает множество ), если каждый элемент есть элемент :
В этом случае называется подмножеством , — надмножеством . Если 
и 
, то называется собственным подмножеством . Заметим, что 
. По определению 
.
Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:
Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что множества могут быть равны, используется запись:
Бинарные операции
Ниже перечислены основные операции над множествами:
· пересечение:
· объединение:
Если множества и не пересекаются: 
, то их объединение обозначают также: 
.
· разность (дополнение):
· симметрическая разность:
· Декартово или прямое произведение:
Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.
Билет 2.
Правило вида f: A->B, ставящее в соответствие каждому элементу множества A какой-либо элемент (или элементы) множества B, называется отображением из A в B. Пример: A - множество футбольных команд, B - множество населённых пунктов; каждой футбольной команде ставится в соответствие пункт, где находится её родной стадион (ну или стадион, где она официально играет "на своём поле", если нет собственного стадиона).
Если какому-либо элементу множества A соответствует более одного элемента множества B, то отображение многозначное. Пример многозначного изображения можно привести следующий. Пусть A - множество олигархов, B - множество особняков. Есть олигархи, владеющие несколькими особняками. Тогда отображение, ставящее в соответствие каждому олигарху его особняки, является многозначным.
В дискретной математике, как правило, рассматриваются однозначные отображения. Отображение из A в B однозначное, если всякому элементу из A поставлен в соответствие только один элемент из B. Пример однозначного отображения: пусть есть воинская часть, в ней множество солдат и множество батальонов. Отображение, ставящее в соответствие солдату батальон, в котором он числится, однозначное, если только в списках составов не допущено ошибок. Заметим, что определение однозначного отображения из A в B не запрещает ситуаций, когда двум разным элементам множества A соответствует один и тот же элемент из B. Ярко видно это по примеру с солдатами.
Далее мы рассмотрим некоторые виды однозначных отображений, для простоты понятие "однозначное" иногда будем опускать.
| 2015-12-07 |
2477 |
Обсуждений (0) |
из
5.00
|
Обсуждение в статье: Операции над множествами. Обозначение множеств и их элементов |
|
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы