Дифференцирование функций
Производной функции y = f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда при-ращение аргумента стремится к нулю: где Производная обозначается у', y'(x), y'x.
Правила дифференцирования функций. Пусть С – постоянная, а u(x) и v(x) – дифференцируемые функции. Тогда C' = 0,
Производная сложной функции y = f(u(x)). Если функция u = u(x) дифференцируема в точке х, а функция y = f(u) дифференцируемая в соответствующей точке u = u(x), то сложная функция y = f(u(x)) дифференцируема в точке х и ее производная равна
Таблица производных 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ( 9. 10. 11. 12. 13. 14.
Функция неявно задана уравнением если для всех выполняется равенство Для вычисления производной функции, заданной неявно, следует тождество продифференцировать по х (рассматривая левую часть как сложную функцию от х), а затем полученное уравнение решить относительно f'(x) Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Производной второго порядка функции называется производная от ее производной , т.е. . Аналогично определяются производные более высоких порядков . Дифференциалы высших порядков функции (x – независимая переменная) вычисляются по формулам . Если функция задана параметрически соотношениями , причем , то ее первая и вторая производные находятся по формулам: .6.3. Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , то существует хотя бы одна точка такая, что . Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует точка такая, что (формула Лагранжа). Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и , то существует точка такая, что (формула Коши). Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей и ). Пусть – окрестность точки с выброшенной точки .
Теорема. Пусть функции и дифференцируемы на ; .
Если и (или и ), то при условии, что сущест-вует предел отношения производных.
Замечания:1. Аналогичная теорема справедлива и в случае . 2. Если частное в точке также есть неопределенность вида или и производные и удовлетворяют соответствующим условиям, то можно перейти к отношению вторых производных и т.д. 3. Неопределенности вида или алгебраическими пре-образованиями функции приводятся к неопределенности вида или , и далее применяется правило Лопиталя. 4. В случае неопределенности вида , или , или следует прологарифмировать функцию и предварительно найти предел ее логарифма.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (518)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |