Свойства периодических функций. Тригонометрическая система функций
Ряды Фурье. Тригонометрический ряд. Определение. Тригонометрическим рядомназывается ряд вида: или, короче, Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда. Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2p, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2p. Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-p; p], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x). Определим коэффициенты этого ряда. Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами: Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование тригонометрических функций. Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-p; p], то существует интеграл Такой результат получается в результате того, что . Получаем: Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от -p до p.
Отсюда получаем: Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от -p до p. Получаем: Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения коэффициентов an. Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты существуют и называются коэффициентами Фурьедля функции f(x). Определение. Рядом Фурьедля функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье непериодической функции. Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции. Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b]. y f(x)
a - 2T a a b a+2T a + 4T x
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b]. Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2p ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2p, то функция продолжается на интервал (b, a + 2p) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись. Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].
53.Ряд Фурье для периодической функции с периодом . Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье. Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2p и на отрезке [-p;p] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [-p;p] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x). Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-p;p]. Теорема. Если функция f(x) имеет период 2p, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-p;p] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва она равна . При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x). Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкойна отрезке [-p;p]. 54.Ряд Фурье для периодической функции с периодом . Ряды Фурье для функций любого периода. Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид: Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид: Для нечетной функции:
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1577)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |