Приращение аргумента и функции. Второе определение непрерывности

функции. Геометрический смысл непрерывности функции.

Геометрический смысл непрерывности функции заклю-чается в том, что её график представляет собой сплошную, без разрывов, линию. В самом деле, изобразим на плоскости график непрерывной функции (рис. 43). На кривой отметим точку с абсциссой , её ордината равна , т. е. . На этой же кривой возьмём точку с абсциссой , её ордината равна , т. е. . Когда абсцисса точки стремится к – абсциссе точки , ордината точки стремится к согласно (16) в силу непрерывности функции. Это означает, что при этом точка стремится к точке , и графиком функции является сплошная линия без разрывов.

Обозначим величину и назовём ее приращением аргумента рассматриваемой функции . Разность соответствующих значений функции обозначим

(17)

или, так как , , и назовём приращением функции , вычисленным для точки и соответствующим приращению аргумента..

В (16) учтём, что , т. к. предел постоянной равен этой постоянной. Этот предел подставим в правую часть (16), затем его перенесём влево и учтём, что разность пределов равна пределу разности. После этого получим . Но разность под знаком предела, согласно (17), равна . Поэтому имеем

. (18)

Здесь мы учли, что при разность . Таким образом, если функция непрерывна в точке , то при стремлении приращения аргумента к нулю, соответствующее приращение функции, вычисленное для точки , стремится к нулю. Проведя рассуждения в обратном порядке, получим, что из (18) следует (16).

Соотношение (18) иногда называют вторым определением непрерывности функции в точке. Оно равносильно исходному определению (16).

Точки разрыва функции

Точка называется точкой разрыва функции , если в ней нарушается хотя бы одно из трёх условий непрерывности функции в точке, указанных в параграфе 14.

В качестве примера возьмём функцию, определённую формулой

. (21)

Ясно, что эта функция определена везде, кроме точки . Для любого положи-тельного имеем и согласно формуле (21) . Если же , то и . График этой функции изображен на рис. 44.

Так как функция в точке не определена, то на её графике нет точки с абсциссой , т. е. нет точки, лежащей на оси , поэтому график как бы не доходит до оси , что отмечено стрелками. Для любой точки имеем . Кроме того, для любого имеем , поэтому . Это означает, что функция в точке непрерывна в силу (16). Аналогично установим, что для любого функция также непрерывна. Но точка есть точка разрыва функции (21) по двум причинам:

· не существует , т. к. в точке функция (21) не определена;

· для функции (21) не существует предел .

В самом деле, предел справа этой функции , а предел слева . Таким образом, односторонние пределы хотя и существуют, но не равны друг другу, значит, не существует обычный (двусторонний) предел .

Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если существуют конечные односторонние пределы и . Например, для функции (21) точка – точка разрыва первого рода. Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода. Для функции (рис. 45) точкой разрыва второго рода будет , так как в этой точке функция не определена и односторонние пределы бесконечны: и