Если подстановка выбрана удачно, то интеграл, получ в правой части, вычисляется проще, чем в исходной
Если ф-ция x=φ(t) непрерывна и монотонна,то обратн. t=ψ(x) всегда сущ. Вычислив интеграл в правой части по t,следует вернуться к переменной x ∫f(ψ(x)) φ’(x)dx=∫f(t)dt, где t=ψ(x) 1 ∫f(ax+b)dx= ax+b=t, x=(t-b)/a dx=1/a dt =∫f(t)1/a dt=1/a ∫f(t)dt=1/a F(t)+C= =1/a F(ax+b)+C 2 ∫ f’(x)/f(x) dx= ln f(x) +C 3 ∫ df(x)/f(x) = ln f(x) +C А Метод интегрирования по частям Задано: U=U(x), V=V(x),известно: d(UV)=VdU+UdV проинтегрируем обе части уравнения: ∫ d(UV)= ∫ VdU+ ∫ UdV UV=∫ VdU+ ∫ UdV=> ∫UdV=UV-∫VdU- ф-ла интегр-я по частям Смысл ф-лы интегр-я по частям сост в след.: подинтегр выраж-е UdV разб-ся на 2 части т. о.,чтобы интеграл в правой части вычислялся проще,чем исходный. Основные классы ф-ций,интегрируемых по частям: 1 ∫ lnm(x)dx, ∫arcsinmxdx, ∫arccosm xdx,∫arctgm xdx 2 ∫Pn(x)lnaxdx,∫Pn(x)eaxdx,∫ Pn(x)sinaxdx, ∫Pn(x)cosaxdx 3 ∫eaxsinbxdx,∫eaxbxdx 4 ∫ (x²+a²)½dx, ∫(a²- x²)½dx, ∫ dx/(x²+a²)k Определенный интеграл с переменным верхним пределом Ф-я вида , где x наз интегралом c перем верхним пределом. Т: Если непрер на , то произв-я ф-и , сущ в каждой точке на , причем Интегрирование выражений, сод-х квадратный трехчлен x+p/2=t dx=dt a2= или IV
V. p²/4-q>0 p²/4-q<0 7Интегрирование рациональных дробей 1. Многочленом степени n наз-ся выражение вида a0+a1x+a2x2+…+anxn=Pn(x) Рациональной дробью наз-ют отношение двух многочленов вида При n=0 вычисление интеграла никаких трудностей не представляет Интерес представляют рациональные дроби, у кот. n>0 При этом будем рассматривать дроби, у кот. m<n Если m>=n, то применяют процедуру деления многочленов уголком Интегрирование простейших дробей I. x-a=t dx=dt II. x-a=t dx=dt 8 Определение опред. интеграла Пусть зад ф у=f(x), кот непрер на некот. замкнутом инт-ле [a,b]. Разбиваем инт-л [a,b] на n частей; абсциссы точек дел-я a=x0<x1<x2<…<xi-1<xn-1<xn=b обозн x1,x2,…xn. Кажд частичный инт-л обозн ∆x1=x1-x0, ∆x2=x2-x1, ∆xi=xi-xi-1, ∆xn=xn-xn-1. В каждом частичном инт-ле ∆xi , i= 1;n выберем т. и выч-мﻉI , y=f(x), y=f(ﻉ1) , f(ﻉ2) , … f(ﻉi) ,… f(ﻉn) Cост-м произв-е f(ﻉ1)∆x1, f(ﻉ2)∆x2 , … f(ﻉi)∆xi ,… f(ﻉn)∆xn. Кажд из этих произв-й предст собой полоску шириной ∆xi и высотой f(ﻉi). О1. Сумма f(ﻉ1)∆x1+ f(ﻉ2)∆x2 + … f(ﻉi)∆xi +… f(ﻉn)∆xn=∑ f(ﻉ1)∆x1 наз интегр суммой ф. f(x) на инт-ле [a,b]. С геом. точки предст собой S ступенчатой фигуры. Обозн наиб. из разностей ∆x1= xi-xi-1 через ОХ. Тогда имеет место определение 2. О2. Сущ кон предел интегр ∑, т.е. f(ﻉ1)∆x1 и он не зав-т от СП-ба разбиения инт-ла [a,b] и выбора точекﻉ1 на частичных инт-лах ∆xi, то этот предел наз опред интегралом ф. f(x) на [a,b] и обозн Т. Для всякой непрер ф-и интеграл сущ. А Геом. смысл опред. интеграла.
Опред интеграл опред-т точное зн-е S криволин тр-и.
Осн св-ва опред интеграла Значение о.и. не зависит от обозначения переменной интегрирования.
Если , x ? [a;b]
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (452)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |