Порядок старшей производной, входящей в ур-е назыв порядком ур-я
О2. ф-ция у=у(х) наз решением ДУ (1) или (2) если, будучи подставленным в соответствующ ур-е вместе со всеми своими произв-ми, она обр-т его в верное рав-во. Задача нах-я решения ДУ наз задачей интегрирования ДУ. О3. Общим решением ДУ (1), (2) n-го порядка назыв ф-ция вида y=j(x,c1,c2,…,cn), которая зависит от переменной х и n произвольных постоянных О4. Частичным реш ДУ наз реш, получ из общего при некот конкретных числовых значениях постоянных c1,c2,…,cn Демографическая модель Из статистики известно, что для конкр региона число рожд и умерш за ед врем проп-но числ-ти населения с коэф. Проп-ти k1,k2. Найти закон измен числ-ти населения с течением времени, т.е. опис матем демограф процесс. Реш. Пусть y=y(t) –число жителей региона в момент времени t. ∆у – прирост населения за время ∆t где k=k1-k2 Разделим на ∆t , y’=ky, где k=k1-k2 y=cekx 16.ДУ 1го порядка Имеют вид: y’=f(x,y) (1) F(x,y,y’)=0 (2) 1) y’=f(x) dy/dx=f(x) dy=f(x)dx òdy=òf(x)dx y=òf(x)dx 2) y’=f(y) dy/dx=f(y)
3) f(x)dx=f(y)dy ДУ с разделенными переменными òf(x)dx=òf(y)dy 4)y’=f(x)gy или M(x)N(y)d(x)=K(x)L(y)d(y) ДУ с разделяющимися переменными Ур-е вида (4) реш по схеме: d(y)/d(x)=f(x)gy d(y)/g(x)=f(x)d(x) M(x)d(x)/K(x)=L(y)d(y)/N(y)
5) y’=g(y/x) однородное ДУ 1го порядка(ф-ция вида f(αx,αy)=αkg(x,y) наз однор ф-ция k-того порядка,αЄR) Реш с помощью подстановки z=y/x y=zx y’=z’xx+z z’x+z=g(z) d(z)/(g(z)-z)=d(x)/x 6) y’=f(ax+by) приводится к ур-ю вида (4) путем замены z=ax+by 18.Линейные однородные ДУ 2 порядка с постоянными коэфф-ми. Их нахождение. Обыкн ДУ 2 порядка с пост.коэфф. имеет вид: (1) y``+py`+qy=r(x) p,q принадл. R, r(x) – функция Если r(x) =0, то (2) y``+ py`+qy=0 – однор.лин.ДУ с пост.коэфф. Ур-е вида (3) =0 – характерист.ур-е (1) и(2) Стр-ра общего решения ур.(2) определяется корнями квадр.ур-я. (3) Возможны 3 случая 1. кв.ур-е имеет разные корни α1 α2, D>0 тогда общее решение: y=C1 C1, C2 прин.R 2. корни кв.ур. кратные, т.е. α1= α2=α ; D=0 y= C1, C2 прин.R 3. корни комплексно сопряженные : λ1= α-βi; λ2= α+βi; y= C1 C1, C2 прин.R 18а Лин неоднор ДУ 2-го порядка с пост коэфф-ми. Рассмотрим уравнение y´´+py´+qy=r(x) /где p,q ? R , r(x)-функция. которое имеет вид y=yO+yЧ, где yO-общее решение уравнения y´´+py´+qy =0 yЧ-частное решение уравнения y´´+py´+qy=r(x) , которое зависит от вида правой части,т.е r(x) Рассмотрим некоторые частные случаи: 1) r(x)=Pn(x) ,где Pn(x) – многочлен степени «n» В этом случае решение yЧ ищут из уравнения к²+pк+q=0 в виде: • yЧ=Qn(x) при q≠0 • yЧ=x Qn(x) q=0, p≠0 • yЧ=x² Qn(x) q=p=0 2) r(x)=а где а,м ? R , а,м =соnst Вид частного решения следущее: • yЧ=А если «м» не явл корнем Ур-я к²+pк+q=0 (корни некратные,некомплексные) • yЧ=Аx если «м» –простой корень ур-я к²+pк+q=0 •yЧ=Аx² если «м»-кратный корень Ур-я к²+pк+q=0 3) r(x)=acosmx+bsinmx где a,b,m=const • yЧ= Acosmx+Bsinmx при условии что p²+(q-m²)≠0 • yЧ= x(Acosmx+Bsinmx) если p²+(q-m²)=0, p=0,q= m² 17. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. ДУ вида A(x)y’+B(X)y+C=0, где A(x)≠0, или после деления на A(x), приведённое к виду y’+p(x)y=q(x), называется линейным ДУ первого порядка. Если q(x) 0, то уравнение называется линейным однородным, иначе – линейным неоднородным. Линейное однородное уравнение – это уравнение с разделяющимися переменными, его общее решение выражается формулой . Для решения линейного неоднородного уравнения можно применять метод вариации произвольной постоянной, тогда общее решение неоднородного уравнения получается в виде . Линейное неоднородное уравнение может быть сведено к решению двух уравнений с разделяющимися переменными при помощи подстановки z=y/x, y=zx, y’=z’x+z, z’x+z=g(z), d(z)/(g(z)-z)=d(x)/xy’=f(ax+by).
19.Числовой ряд и его сходимость. Пусть задана бескон послед-ть чисел … Тогда + +… +…= (1) наз числовым рядом, а числа -члены ряда, -общий член ряда.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (471)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |