Теорема (достаточное условие возрастания и убывания функции)

Если в данном промежутке производная функции положительна, то функция возрастает в этом промежутке; если производная отрицательна, то функция убывает в соответствующем промежутке; если же производная равна нулю, то функция постоянна на промежутке.

Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.

Рассмотрим функцию у=f(x), определённую на промежутке ( ). Пусть х₀Î( ), δ ─ некоторое положительное число. Будем называть δ-окрестностью точки х₀ интервал (х₀ − δ;х₀ + δ) и обозначать его О(х₀;δ).

Определение.Если можно указать такую δ-окрестность точки х₀, принадлежащую ( ), что для всех хÎО(х₀;δ), х ≠ х₀, выполняется неравенство

f(x₀) > f(x),

то у₀ = f(x₀) называют максимумом функции у = f(x)и обозначают через max f(x) (рис.17.1).

Если же для всех хÎО(х₀;δ), х ≠ х₀, выполняется неравенство

f(x₀) < f(x),

то у₀ = f(x₀) называют минимумом функции у = f(x)и обозначают через min f(x) (рис.17.2.).

Отметим, что максимум и минимум функции имеют локальный характер (это наибольшее и наименьшее значение функции в достаточно малой окрестности соответствующей точки); отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов ой же функции (рис.17.3).

Определение.Максимум и минимум функции называют экстремумом.Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума).

В точке экстремума дифференцируемой функции производная её равна нулю.

Замечание 1. Если f '(x₀) = 0, то отсюда ещё не следует, что х₀ ─ точка экстремума. Например, для функции f(x) = x³, f '(x) = 3x², f '(0) = 0, но х₀ = 0 не является точкой экстремума, т.к. f(x) > 0 при х > 0 и f(x) < 0 при х < 0 (рис.17.4).

Замечание2.Функция может достигать экстремума также в точке, в которой производная не существует. Например, функция у = не имеет производной в точке х₀ = -1, но достигает в ней максимума (рис.17.5).

Функция у = не имеют конечной производной в точке х₀ = 0, т.к.

у' = при х = х₀ = 0 обращается в бесконечность, но в этой точке функция имеет минимум (рис.17.6).

Определение.Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной. Стационарные точки, а также точки, в которых функция имеет бесконечную производную или в которой производная не существует, называются критическими.

Таким образом, точки экстремума следует искать среди критических точек.

Определение.Говорят, что функция у = f(x) меняет знак при переходе через точку х=х₀,если f(x₁)f(x₂) < 0 для любых х₁, х₂ из некоторой окрестности этой точки, удовлетворяющих неравенствам х₁ < x₀ < x₂; знак меняется с плюса на минус, если f(x₁)>0, f(x₂) < 0; знак меняется с минуса на плюс, если f(x₁) < 0, f(x₂) > 0.