Теорема (достаточное условие экстремума)

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀. если в точке х = х₀ производная функции f(x) равна нулю и меняет знак при переходе через точку х₀, то точка х₀ является точкой экстремума, причём: 1) х₀ ─ точка максимума, если знак меняется с плюса на минус; 2) х₀ ─ точка минимума, если знак меняется с минуса на плюс.

Теорема (достаточное условие экстремума).

Если в точке х = х₀ первая производная дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀ функции у = f(x) равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то х₀ является точкой экстремума, причём: 1) х₀ ─ точка минимума, если f ''(x₀) > 0; 2) х₀ ─ точка максимума, если f ''(x₀) < 0.

Пример.Найти экстремумы функции f(x) = .

Решение. Поскольку f '(x) = , то критическими являются только стационарные точки , , .

Исследуем знак второй производной f ''(x) = в этих точках:

f ''( ) = 12×2 −20 > 0, f ''(0) = −20 < 0, f ''( ) = 12×5 −20 > 0.

Следовательно, , ─ точки минимума, ─ точка максимума,

причём min f(x) = f( ) = f( ) = -10, max f(x) = f(0) = 15.

Направления выпуклости, точки перегиба.

Определение.График функции у=f(x) называется выпуклым внизв данном промежутке, если он целиком расположен выше касательной в его произвольной точке (рис.17.7). График функции у = f(x) называется выпуклым вверхв данном промежутке, если он целиком расположен ниже касательной в его произвольной точке (рис.17.8).

Теорема (достаточный признак выпуклости графика функции).

Если вторая производная функции у = f(x) положительна в данном промежутке, то график функции является выпуклым вниз в этом промежутке; если же вторая производная отрицательна в данном промежутке, то график функции является выпуклым вверх в этом промежутке.

Пример.Найти интервалы выпуклости графика функции f(x) = .

Решение.Найдём вторую производную функции f ''(x) = . Так как f ''(x)<0 при х < 2 и f ''(x)>0 при х > 2, то график функции является выпуклым вверх в интервале (−¥;2) и выпуклым вниз ─ в интервале (2;+¥).

Определение. Точкой перегибаграфика функции у = f(x) называется такая его точка М₀ (рис.17.9.), в которой меняется направление выпуклости.

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба).

Если в точке х = х₀ вторая производная функции у = f(x) обращается в нуль и меняет знак при переходе через неё, то М₀(х₀;f(x₀)) ─ точка перегиба графика этой функции.

Например, в предыдущей задаче мы установили, что f ''(2) = 0 и f ''(x) меняет знак при переходе через эту точку. Следовательно, х = 2 ─ точка перегиба графика функции f(x) = .

Асимптоты.

Если график функции сколь угодно близко приближается к прямой, то такую прямую называют асимптоты. Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Определение.Прямая х = называется вертикальной асимптотойграфика у = f(x), если хотя бы одно из предельных значений f(x), f(x) является бесконечным.

Например, прямая х = 2 ─ вертикальная асимптота графика у = , так как = −¥, = +¥.

Определение.Предположим, что функция у = f(x) определена при сколь угодно больших (по модулю) значениях аргумента. Для определённости будем рассматривать положительные значения аргумента. Прямая

у =

называется наклонной асимптотойграфика функции у = f(x), если эта функция представима в виде

f(x) = ,

где ─ бесконечно малая функция при х→ +¥.