Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции
Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Пусть Dx - приращение аргумента в точке x. Обозначим через Dy или Df приращение функции, равное f(x+Dx) – f(x). Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента Dx соответствует бесконечно малое приращение функции Df. Отношение Df /Dx, как видно из рисунка 2.2.1, равно тангенсу угла a, который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат. Представим себе процесс, в котором величина Dx, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y = f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет вращаться около точки M так, что при очень малых величинах Dx её угол наклона a будет сколь угодно близок к углу j наклона касательной к кривой в точке x. Следует отметить, что все сказанное относится к случаю, когда график функции y = f(x) не имеет излома или разрыва в точке x, то есть в этой точке можно провести касательную к графику функции. Отношение Dy / Dx или, что то же самое (f(x + Dx) - f(x)) / Dx, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента Dx. Эта функция не определена в точке Dx = 0. Однако её предел в этой точке может существовать. Если существует предел отношения (f(x + Dx) – f(x)) / Dx в точке Dx = 0, то он называется производнойфункции y = f(x)в точке x и обозначается y¢ или f¢(x): . Нахождение производной функции y = f(x)называется дифференцированием. Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно вычислить f¢(x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a, b). Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x)в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Производная - это скорость изменения функции в точкеx (физический смысл производной). Из определения производной следует, что f¢ (x) » Df / Dx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Dx. Производная f¢ (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между Df и Dx. Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x0, но не иметь в этой точке производной. Такую точку назовём угловой точкой графика функции или точкой излома. Графические примеры приведены на рисунке 2.2.2.
Так функция y = êx ê не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке. Ниже приводится таблица производных элементарных функций.
Приведем теперь основные свойства производной: 1. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке. 2. Если существует f¢ (x) , и С ‑ произвольное число, то функция имеет производную: (Cf(x))¢ = Cf¢ (x). 3. Если существуют f¢ (x)и g¢ (x), то функция S(x) = f(x) + g(x) имеет производную: S¢ (x) = f¢ (x) + g¢ (x). 4. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x), то функция P(x) = f(x)g(x) имеет производную: P¢ (x) = f¢ (x)g(x) + f(x)g¢ (x). 5. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x) и при этом g(x) ¹ 0, то функция D(x) = f(x) / g(x) имеет производную: D¢ (x) = (f¢ (x) g(x) - f(x) g¢ (x)) / g2(x). В любом курсе математического анализа доказывается теорема о производной сложной функции. Мы ограничимся лишь ее формулировкой. Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x))имеет в точке x производную F¢ (x) = f¢ (z) g¢ (x). Приведем примеры вычисления производной сложной функции.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (836)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |