Тема 2.1. Понятия о функции одной переменной. Предел и непрерывность функции
ПустьD— некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числуxиз множестваDставится в соответствие единственное определенное числоy, то будем говорить, что на множествеDзадана функция, которую назовёмf. Числоy— это значение функцииfв точкеx, что обозначается формулойy = f(x). Число x называется аргументом функции, множество D — областью определения функции, а все значения y образуют множество E, которое называется множеством значений или областью изменения функции. Функцияf называется возрастающей (убывающей) на множествеG, если для любых чиселх1 и х2 из множества G, таких что x1 < x2, выполняется условие f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)). Так как между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси можно установить взаимно-однозначное соответствие, в дальнейшем изложении понятиям “число х”и “точка х числовой оси” в некоторых случаях будет придаваться один и тот же смысл. Например, вместо “значение функции при значении аргумента, равном х1” будет говориться “значение функции в точке х1”. В нижеследующем определении можно везде заменить выражение “точка х” на выражение “число х”. Пусть e — некоторое положительное число, тогда eназывается окрестностью точки x0 множества всех точек x, принадлежащих промежутку (x0 ‑ e, x0 + e), кроме самой точки x0. Принадлежность точки x e‑окрестности точки можно выразить с помощью двойного неравенства 0 < êx – x0ç < e.
Рассмотрим предел и непрерывность функции y = x2 в точке x0 = 2. Значение функции в этой точке равно 4. Отметим одну особенность поведения функции в этой точке. Можно выбрать какое-либо положительное число eи построить e-окрестность точки y0 = 4. Очевидно, что найдется такая окрестность точки x0 = 2 (на рисунке 2.1.1 эта окрестность имеет радиус d) , что если x будет лежать в этой окрестности, то соответствующее значение y, равное x2, попадет в e-окрестность точки y0 = 4. Это заключение справедливо для любого, сколь угодно малого числа e. Здесь точка x0 = 2 выбрана произвольно. Можно было бы для данной функции выбрать любую другую точку и сделать подобное заключение. Рассмотрим функцию .Эта функция не определена в точке x0 = 2. При x0 ¹ 2 её можно преобразовать: . График функции представлен на рисунке 2.1.2. Хотя исходная функция не определена в точке x0 = 2 и естественно не равна 3 в этой точке, точка y0 = 3 имеет характерную особенность. Выбрав положительное число e, можно утверждать, что если рассматривать значения x, расположенные достаточно близко к точке x0 = 2 (или лежащие в некоторой окрестности точки x0 = 2, причем радиус этой окрестности зависит от e), то соответствующие значения y попадут в e-окрестность точки y0 = 3. Всё сказанное остаётся справедливым независимо от того, насколько малым выбрано положительное число e. Введем понятие предела функции. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y = A. Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < êx – x0ê < d, выполняется условие êy – Aê < e. Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0, записывается формулой: . Как видно из второго из рассмотренных выше примеров, для того, чтобы функция имела предел в точке x = x0, не требуется, чтобы она была определена в этой точке. Рассмотрим функцию . Очевидно, что если x > 0, то y = 2x; если x < 0, то y = –2x; при x = 0 функция не определена. График функции изображен на рисунке 2.1.3. Легко убедиться в том, что, согласно приведенному выше определению предела, эта функция в точке x = 0 предела не имеет. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой точке: . Функция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси. Функция не является непрерывной в точке x = 2. Функция не является непрерывной в точке x = 0. Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (716)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |