Векторные пространства и их преобразования
Линейным векторным пространством называется множество векторов (любой природы), для которых определено два действия: сложение и умножение на произвольное число. Линейные n-мерные векторные пространства будем обозначать Ln. Если х={х1,х2,...хn} є Ln иу={у1, у2,... уп}є L, то 1. х = у , если хі = уі , i = 1, n 2. х+у= {х1 + y1,х2 + у2,. ...хп +уп „ } єLn. 3. mх = {mx1, тх2,..., mxп} є Ln. Приведенные определения позволяют рассматривать векторы общего вида не обязательно геометрической природы. Примеры линейных пространств: а) множество геометрических векторов R3; б) множество всех многочленов Рп(х), степени не превосходящей n; в) множество матриц Amn, размерности mn; г) пусть хi,i = 1,n -количество i-го сырьевого продукта, измеренного в подходящих единицах, тогда векторы видах={х1,х2,...хn}могут задавать суточную потребность предприятия в сырье, запасы сырья, хранящегося на складе и т.д. Любая совокупность n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве образует базис в этом пространстве (определение линейной зависимости и независимости векторов см. в теме 1.2). Пример 1.5.1. Показать, что система векторов образует базис в пространстве квадратных матриц Составим линейную комбинацию
Разложение матрицы А22 по базису Si , i=1,n имеет вид: 1.(х, у)=(у, х) 2. (х1+ х2 , у) = (х1, у) + (х2 , у) 3. (αх, у) = α (х, у); 4. (х, х)>0, х ≠ 0 и (x,x)=0, если х=0. Неравенство |(х,y)|≤║x║х║y║называется неравенством Коши-Буняковского. Два вектора евклидового пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. (х, у )=0. Линейные преобразования. Если указано правилоf, по которому каждому вектору х линейного пространства Ln ставится в соответствие единственный вектор уэтого пространства, то говорят, что в нем задано преобразование (отображение, оператор). Преобразование f линейного пространства L называется линейным (линейным оператором), если для любых векторов этого пространств х1, х2 , х и любого λєR выполняются условия Пример 1.5.2. Показать, что преобразование y=a x x, где а(а1,а2, а3) -постоянный вектор, х(х1, x2, x3), y(y1, y2, y3 ecть линейное в линейном пространствеL3 и построить его матрицу А . Чтобы доказать линейность преобразования y=a x x достаточно проверить свойства (1.5.1). Пусть x1, x2 є L3 , λєR , тогда у(х1+ х2) =а х (х1+ х2) = а х х1 + а х х2 у(λх)= а х (λх)= λ (а х х), т.е. свойства линейности (1.5.1) выполнены и преобразование y=a x x линейно. Предположим в линейном пространстве Ln заданы базисы еi, i=1,n и mi, i=1, а также матрица A линейного преобразования f в базисе еi, i=1. Тогда матрица линейного преобразования в базисе mi, i=1, будет иметь вид B=T-1 AT, (1.5.3) где T -матрица перехода от старого базиса к новому. Пример 1.5.3. В базисе e1 ,e2 преобразование f имеет матрицу Матрица
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (669)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |