ДЕ5.Функциональный анализ

Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества равна 0

Решение:
В условии дана окружность радиуса 1, то есть кривая. Ее мера равна нулю.

Тема: Элементы теории множеств
Даны два множества и . Тогда количество целых значений ,принадлежащих пересечению множеств А и В равно 4.

Тема: Метрические пространства
Функция заданная на множестве целых чисел …

удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства

Тема: Отображение множеств
Прообразом множества при отображении является

Тема: Элементы теории множеств
Даны два множества: и .Тогда количество целых значений х , принадлежащих объединению множеств А и В, равно …8

Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества, изображенного на рисунке,

Равна .

Решение:
Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, то есть для ее определения из площади круга радиуса 4 нужно вычесть площадь круга радиуса 2. Следовательно, мера этого множества равна

Тема: Метрические пространства
Функция , где и , …. не удовлетворяет аксиоме треугольника

не удовлетворяет аксиоме симметрии

не удовлетворяет аксиоме тождества

удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства

Решение:
Функция не удовлетворяет аксиоме треугольника, например, для точек (-1, -1), (0, 0) и (1, 1).

Тема: Отображение множеств
Биективное отображение отрезка на отрезок может быть задано функцией …

Тема: Метрические пространства
Расстояние между функциями и пространства всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке , с метрикой , равно…3

Решение:

Тема: Отображение множеств
Отображение, действующее из отрезка на действительную числовую ось и имеющее обратное отображение, может быть задано функцией …

Решение:
Функция, действующая из отрезка на действительную числовую ось и имеющая обратную, должна быть непрерывной и монотонной на . Например, это функция

Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества равна …

Решение:
Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, изображенной на рисунке:

Вычислим ее с помощью определенного интеграла.

Следовательно, мера этого множества равна

Тема: Отображение множеств
Отображение действует по правилу: Тогда имеет вид …

Решение:
Так как при и при ,то

Тема: Метрические пространства
Функция , где и , …

			не удовлетворяет аксиоме треугольника
			не удовлетворяет аксиоме симметрии
			не удовлетворяет аксиоме тождества
			удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства

Решение:
Функция , где и , не удовлетворяет аксиоме треугольника, например, для точек (-1, -1), (0, 0) и (1, 1).

Тема: Элементы теории множеств
Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …

Решение:
Выполним операцию в скобках, то есть определим множество . Теперь выполним объединения , в результате которого получится множество чисел . Таким образом, множество содержит пять элементов.

Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества , где А= и равна …

Решение:
Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, то есть квадрата со стороной 2. Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, то есть круга с радиусом 1. Так как круг целиком лежит внутри квадрата, то искомая мера равна

Тема: Элементы теории множеств
Даны множества: и . Тогда число элементов, принадлежащих их пересечению равно …

Решение:
. Определим множество . Получили множество, состоящее из трех элементов.

Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества равна …

Решение:
Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, изображенной на рисунке:

Вычислим ее с помощью определенного интеграла.
Следовательно, мера этого множества равна .

Тема: Элементы теории множеств
Даны два множества: и . Тогда количество целых значений , принадлежащих пересечению множеств и , равно …

Решение:
Пересечением множеств и является промежуток [-1; 3), который содержит четыре целых числа.

Тема: Метрические пространства
Функция , где и , …

			не удовлетворяет аксиоме треугольника
			не удовлетворяет аксиоме симметрии
			не удовлетворяет аксиоме тождества
			удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства

Тема: Отображение множеств
Пусть задано отображение . Тогда имеет вид …

Решение:
По определению прообраза множества .
Тогда

Тема: Элементы теории множеств
Даны множества: , . Тогда число целых чисел, принадлежащих их объединению равно …

Решение:
.
. Таким образом, объединение содержит девять элементов.

Тема: Мера плоского множества
Плоская мера множества равна …

Тема: Метрические пространства
Расстояние между функциями и пространства всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке , с метрикой , равно …

			– 2

Тема: Отображение множеств
Обратимым на является отображение …

Решение:
Отображение называется обратимым, если существует отображение такое, что , где – тождественные отображения на множествах и соответственно.
По критерию обратимости: отображение будет обратимым, если оно инъективно и сюръективно.
Отображение на отрезке не инъективно, например, для точек и образы совпадают: .
Отображения и также не инъективны, например, для точек и в обоих случаях . Отображение инъективно (для ) и сюръективно (отрезок переходит в отрезок ); обратным для него будет отображение

Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества равна …

Решение:
В условии дана окружность радиуса 1, то есть кривая. Ее мера равна нулю.

Тема: Отображение множеств
Отображение действует по правилу: Тогда имеет вид …

Тема: Элементы теории множеств
Даны множества: и . Тогда число элементов, принадлежащих их пересечению равно …

Решение:
. Определим множество . Получили множество, состоящее из трех элементов.

Тема: Отображение множеств
Обратимым на является отображение …

Тема: Элементы теории множеств
Даны два множества: и . Тогда количество целых значений , принадлежащих пересечению множеств и , равно …

Тема: Метрические пространства
Расстояние между функциями и пространства всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке , с метрикой , равно …

Тема: Элементы теории множеств
Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …

Решение:
Определим множество и выполним операцию пересечения . В результате получится множество , состоящее из одного элемента.

Тема: Отображение множеств
Прообразом множества при отображении является …

Решение:
Прообразом множества при отображении являются те точки , которые при данном отображении попадают в отрезок , то есть множество .

Тема: Мера плоского множества
Плоская мера отрезка [0; 1], лежащего на оси в плоскости равна …

			бесконечности
			несчетна

Решение:
Плоская мера отрезка [0; 1], лежащего на оси в плоскости равна нулю.

Тема: Метрические пространства
Расстояние между точками и в метрике , где и равно 4