Амплитуда и скорость распространения волн давления

В трубопроводе

 

Параметры волн давления в трубопроводе определяются основными законами механики – законом сохранения массы жидкости и законом изменения количества движения. Применим эти законы к возмущенному участку трубопровода.

Пусть за время возмущение (для определенности, торможение) охватило область трубопровода (рис. 12.3).

Баланс массы. Изменение массы жидкости на участке трубопровода равно, с одной стороны:

 

или

,

 

с другой стороны, оно равно массе жидкости , вошедшей за время на рассматриваемый участок. Здесь интервал времени, за который волна возмущения распространилась на расстояние . Таким образом, баланс массы имеет вид:

 

.

 

Разделив обе части этого уравнения на , получим:

 

. (12.5)

 

Подставив в эту формулы выражения (12.3) и (12.4) для относительных изменений плотности жидкости и площади сечения трубопровода, получим равенство:

 

, (12.6)

 

позволяющее установить связь изменения скорости течения жидкости в трубопроводе с изменением давления.

Баланс количества движения. При изменении скорости течения жидкости происходит изменение количества движения: при торможении – уменьшение, при ускорении - увеличение. Согласно второму закону Ньютона, эти изменения вызываются действием импульса сил давления: при торможении потока давление возрастает ( ), при ускорении – убывает ( ).

Вычислим изменение количества движения. Имеем:

 

.

 

Поскольку

 

и ,

то

 

.

 

Три последние члена в правой части полученной формулы малы по сравнению с 1, поэтому ими можно пренебречь, т.е. считать, что . Поэтому с точностью до малых более высокого порядка, имеем

 

.

 

Согласно второму закону Ньютона, изменение количества движения системы материальных точек равно импульсу всех внешних сил, действующих на эту систему, т.е.

 

.

 

Учитывая, что и , получаем формулу:

 

,

 

связывающую изменение давления в трубопроводе, вызываемое изменением скорости течения жидкости, причем из этой формулы видно, что замедление потока вызывает повышение давления, а ускорение потока - понижение давления. Очевидно, эта формула обобщает ранее полученную формулу (12.1).

Если принять, что скорость распространения волны возмущения может быть как положительной (когда волна распространяется вниз по потоку) и отрицательной (когда волна распространяется вверх по потоку), как в данном случае, то полученную формулу можно записать в универсальном виде:

 

. (12.7)

 

Формула (12.7)представляет собой первую формулу Н.Е.Жуковского. Формула Жуковского гласит: изменение скорости течения жидкости в трубопроводе вызывает пропорциональное ему изменение давления и наоборот, изменение давления в потоке жидкости, текущей в трубопроводе, приводит к пропорциональному изменению скорости течения.

Подставив (12.7) в (12.6)

 

 

и сократив на , получим вторую формулу Н.Е.Жуковского:

 

. (12.8)

 

Эта формула устанавливает связь скорости распространения волн давления в трубопроводе с параметрами жидкости и самого трубопровода.

Пример 1. Вычислить скорость распространения волн давления при перекачке нефти кг/м³, Па) по нефтепроводу мм, мм, Па).

Решение. По формуле (12.8) находим:

 

м/с.

 

Пример 2. Рассчитать изменение давления при изменении скорости течения нефти кг/м³, Па) на 1 м/с в трубопроводе ( мм, мм, Па)

Решение. По формуле (12.8) находим:

 

м/с.

 

По формуле (12.7) рассчитываем :

 

Па или атм.

 

Пример 3. Рассчитать ударное изменение давления при внезапном закрытии задвижки в потоке нефти кг/м³, Па) транспортируемой с расходом 4200 м³/ч в трубопроводе ( мм, мм, Па)

Решение. Сначала находим скорость течения нефти:

 

м/с.

 

Затем по формуле (12.8) находим скорость волн давления:

 

м/с.

 

Наконец, по формуле (12.7) рассчитываем :

 

Па атм.

 

Пример 4. Оператор насосной станции совершил ошибку, включив станцию на закрытую задвижку. В результате нефть кг/м³, Па) стала подаваться в трубопровод ( мм, мм, Па) с расходом 1300 м³/ч. Рассчитать ударное повышение давления.

Решение. Сначала находим скорость закачки нефти в трубопровод:

 

м/с.

 

По формуле (12.8) находим скорость волн давления:

 

м/с.

 

По формуле (12.7) рассчитываем :

 

Па ( атм.)

 

Пример 5. На сколько атмосфер понизится давление за мгновенно закрывшейся задвижкой, перекрывшей поток нефти кг/м³, Па) транспортируемой с расходом 1300 м³/ч в трубопроводе ( мм, мм, Па)

Решение. Находим скорость течения нефти:

 

м/с.

 

По формуле (12.8) находим скорость волн давления:

 

м/с.

 

По формуле (12.7) рассчитываем :

 

Па атм.

 

Если давление в месте установки задвижки было ниже 15 атм., то нефть за задвижкой может вскипеть, поскольку давление в ней снизится до упругости насыщенных паров. В этом случае за задвижкой образуется парогазовая полость.