Начальные и краевые условия; условия сопряжения

Пусть исследуется неустановившееся течение жидкости на участке трубопровода с протяженностью ( ) начиная с некоторого момента , принимаемого за начальный. Тогда для того, чтобы узнать, как будет развиваться неустановившийся процесс, необходимо иметь информацию о двух принципиально важных моментах:

· каково было исходное состояние участка трубопровода;

· что происходит на краях участка (т.е. в сечениях и ).

Первая информация определяется так называемым начальным условием, а вторая - краевыми.

Заметим, что формулы (12.17) позволяют определить значения и в произвольной точке полосы , , определяющей участок трубопровода за исключением его начального ( ) и конечного ( ) сечений. Кроме того, для расчета необходимы значения давления и скорости в начальный момент времени .

Начальные условия. Состояние участка трубопровода в начальный момент времени может быть достаточно произвольным, однако часто в качестве начального состояния берется установившееся течение жидкости, для которого известны распределения давления и расхода.

Пусть, например, для установившегося течения жидкости известен расход и распределение напора , где напор в начале рассматриваемого участка, а гидравлический уклон; , где напор в конце участка. Тогда начальные условия для расчета нестационарного режима можно взять следующими:

= const.;

или

; , (12.18)

где ; ; ; , где число частей, на которое разбивают участок трубопровода ( ); .

Краевые (граничные) условия. Для нахождения значений и в концевых сечениях необходимо использовать краевые или, как их еще называют, граничные условия.

Рис. 12.7. Краевое условие в начале участка трубопровода

В левое сечение ( ) (рис. 12.7) приходит только одна характеристика отрицательного наклона, поэтому для однозначного определения параметров и в точках левой границы необходимо иметь еще одну связь (алгебраическую или дифференциальную) между этими параметрами.

В простейшем, но практически важном случае, такой связью может быть характеристика нефтеперекачивающей станции (НПС), которая может быть представлена связью давления в линии нагнетания и скорости перекачки: нефтеперекачивающей станции, после того как на ней произошло то или иное изменение. Например, первоначально НПС работала с одним набором насосов - этому режиму соответствовало начальное состояние (12.18), а начиная с момента времени , на НПС перешли к работе в другом режиме, с иным набором насосов - этому стала соответствовать другая характеристика, а именно . Или НПС остановилась вовсе - тогда для всех допустимо принять , и т.д. Рис. 12.7 поясняет систему алгебраических уравнений, которая служит для моделирования левого краевого условия.

. (12.19)

Система уравнений (12.19) служит для расчета значений давления и скорости нефти в начальном сечении участка трубопровода; здесь давление в линии всасывания.

В правое сечение ( ) участка трубопровода приходит также только одна характеристика, но уже положительного наклона (рис. 12.8).

Рис. 12.8. Краевое условие в конце участка трубопровода

Для однозначного определения параметров и в точках правой границы участка необходимо иметь еще одну связь (алгебраическую или дифференциальную) между этими параметрами.

В частности, такая связь может быть представлена зависимостью давления от скорости (расхода) в конце участка. В более простом случае в конце участка можно задать давление или скорость (расход) течения. Рис. 12.8 поясняет систему алгебраических уравнений, которая служит для моделирования правого краевого условия:

(12.20)

Система уравнений (12.20) служит для расчета значений давления и скорости нефти в конечном сечении участка трубопровода.

Условия сопряжения. Если устройства, являющиеся причиной неустановившегося процесса, находятся внутри участка трубопровода, например, в сечении , , то в этой точке может существовать разрыв непрерывности гидравлических параметров. Этот разрыв определяет дополнительные условия, называемые условиями сопряжения.

Пусть, например, в сечении трубопровода происходит сброс или подкачка жидкости с расходом ( сброс; подкачка). Тогда такое сечение характеризуется непрерывностью давления и разрывом расхода. Если обозначать параметры течения перед сбросом или подкачкой буквами с индексом « - », а за ним - буквами с индексом « + », то в сечении должны выполняться условия

; . (12.21)

Тогда для вычисления трех неизвестных параметров неустановившегося течения в сечении используется система трех линейных уравнений

в которых .