Признак Коши (радикальный признак Коши)

Числовые ряды.

Числовым рядом называется выражение вида u₁+u₂+…+u_n+…=∑(n=1,∞)u_n, где u_n – действительные числа, общий член ряда. Составим суммы u₁, u₁+u₂, u₁+u₂+u₃ и обозначаются эти суммы как s₁, s₂, s₃, s_n=u₁+u₂+…+u_n. Эти величины называются частичными суммами. Рассмотрим величину s=lim(n→∞)s_n конечное или ∞ предел величины s_n называется суммой ряда. То есть можно записать s_n=u₁+u₂+…+u_n+…=∑(n=1,∞)u_n. Если сумма конечная ряд называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен то ряд называется расходящимся. Геометрическая прогрессия a+aq+aq²+… a≠0 конечная сумма s_n=a(1-qⁿ)/1-q q≠1 lim(n→∞)s_n=lim(n→∞)a(1-qⁿ)/(1-q)=lim(n→∞)a/(1-q)-lim(n→∞)aqⁿ/(1-q). 1) |q|<1 lim(n→∞)s_n=a/(1-q) ряд сходится. 2) |q|>1 qⁿ→∞ ряд не сходится.3) |q|=1 a) q=1 s_n=na lim(n→∞)s_n=∞. b) q=-1 если n-четное s_n=0, n-нечетное s_n=a. Вывод |q|<1 – ряд сходится, |q|≥1 – ряд расходится.

 

Свойства сходящихся рядов.

Необходимое условие сходимости ряда.

1) Если ряд сходится то последовательность его членов стремится к нулю. Док-во: ∑(n=1,∞)u_n – сходится. По определению следует, что существует конечный lim(n→∞)s_n=s u_n член может представить u_n=s_n-s_n-1, n=2,3,… Рассмотрим lim(n→∞)s_n- lim(n→∞)s_n-1 тогда lim(n→∞)s_n=s и lim(n→∞)s_n-1=s следует s-s=0 а отсюда lim(n→∞)s_n=0.

2) Если ряды ∑(n=1,∞)u_n и ∑(n=1,∞)v_n сходятся то для любых постоянных λ и μ ряд ∑(n=1,∞)(λu_n+μv_n) также сходятся и сумма этого ряда ∑(n=1,∞)(λu_n+μv_n) = ∑(n=1,∞)u_n+∑(n=1,∞)v_n. Док-во: Обозначим s_n=∑(k=1,∞)u_k σ_n=∑(k=1,∞)v_k то есть существует lim(n→∞)s_n=∑(k=1,∞)u_k и lim(n→∞)σ_n=∑(k=1,∞)v_k и они конечны lim(n→∞)A_n=∑(k=1,n)(λu_n+μv_n)=λlim(n→∞)∑(k=1,n)u_k+μlim(n→∞)∑(k=1,n)v_k=λ∑(n=1,∞)u_n+μ∑(n=1,∞)v_n. Рассмотрим ряд

 

 

Теорема: Критерий Коши сходимости ряда.

Для того чтобы ряд ∑(n=1,∞)u_n сходился необходимо и достаточно чтобы для любых ε>0 сущестовал n₀ что для любых n>n₀ и для любых целых p≥0 имело место неравенство |u_n+u_n+1+u_n+2+…+u_n+p|<ε. Док-во: Это утверждение сразу следует из критерия Коши существования предела последовательности примененного к последовательности частичных сумм {s_n} данного ряда |s_n+p-s_n-1|<ε.

 

 

Сходимость положительных рядов.

Пусть члены ряда неотрицательны то есть u_n≥0. Ряды с неотрицательными членами будем называть положительными рядами. Для такого ряда последовательность частичных сумм является возрастающей. Вспомним теорему о пределе монотонной последовательности приходим к выводу: положительный ряд всегда имеет сумму, эта сумма будет конечной, а ряд будет сходящимся, если частичная сумма ограничены сверху и наоборот: сумма является бесконечной, а ряд расходящимся, если частичные суммы ограничены сверху.

 

 

Теорема сравнения рядов

Теорема 1.

Пусть даны 2 ряда с неотрицательными членами ∑(n=1,∞)u_n и ∑(n=1,∞)v_n. Если хотя бы начиная с некоторого места n>N выполняется неравенство u_n≤v_n то из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда, а из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда. Док-во: На основании того, что отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не отражается на его поведении,

 

 

Теорема сравнения рядов

Теорема 2.

Пусть даны 2 ряда с неотрицательными членами ∑(n=1,∞)u_n и ∑(n=1,∞)v_n. Если существует lim(n→∞)u_n/v_n=k где 0≤k≤+∞ то из сходимости второго ряда при k<+∞ вытекает сходимость первого ряда. А из расходимости первого ряда при k>0 вытекает расходимость второго ряда. Док-во: Пусть второй ряд сходится и k<∞. Возьмем произвольный ε>0. По определению предела при достаточно больших n будем

иметь |u_n/v_n-k|<ε, u_n/v_n<ε+k следует u_n<v_n(k+ε). По условию теоремы второй ряд сходится тогда и сходится ряд (k+ε)∑(n=1,∞)v_n следует сходится и первый ряд.

Пусть первый ряд расходится. В этом случае обратное отношение v_n/u_n имеет конечный предел второго ряда, в таком случае должен быть расходящимся так как если бы он сходился то по доказанному сходился бы и первый ряд.

 

можем считать не нарушается общность, что u_n≤v_n n=1,2,…. Обозначим частичные суммы первого и второго рядов соответственно S_n⁽ⁿ⁾, S_n^(v) тогда S_n⁽ⁿ⁾≤S_n^(v). Пусть второй ряд сходится, тогда из условия сходимости последовательность частичных сумм ограниченно сверху то есть S_n^(v)≤L следует S_n⁽ⁿ⁾≤L первый ряд также сходится L = const. Пусть первый ряд расходится то второй ряд расходится. Предположим, что второй ряд сходится тогда по доказанному первый ряд сходится, что противоречит.

 

 

 

∑(n=1,∞)u_n, ряд вида ∑(k=1,∞)u_n+k называется n-ым остатком ∑(k=1,∞)u_n+k=u_n+1+u_n+2+… Если n-ый остаток ряда сходится то его сумму будем обозначать r_n то есть r_n=∑(k=1,∞)u_n+k.

3) Если ряд сходится то и любой его остаток сходится. Если какой-то остаток ряда сходится то сам ряд также сходится, причем если s=∑(n=1,∞)u_n s=∑(k=1,∞)u_k, а r_n=∑(k=1,∞)u_n+k то s=s_n+r_n (отбрасывание или присоединение нескольких начальных членов ряда не отражается на сходимость) Док-во: Обозначим s_n=∑(k=1,∞)u_k частичная сумма s_m+n=s_n+s⁽ⁿ⁾_m следует при произвольном фиксированном n lim(m→∞)s_m+n lim(m→∞)s⁽ⁿ⁾_m одновременно существует или не существует. Существование lim(m→∞)s_m+n означает сходимость всего ряда. Существование lim(m→∞)s⁽ⁿ⁾_m означает сходимость остатка этого ряда если оба рассмотренных предела существуют, то перейдя к lim(m→∞)s_m+n= то получится s=s_n+r_n. Замечание: Если ряд ∑(n=1,∞)u_n сходится то его остатки стремятся к 0 так как lim(n→∞)r_n=lim(n→∞)(s-s_n)=0.
Теорема сравнения рядов

Теорема 3.

Если хотя бы начиная с некоторого места n<N выполнено неравенство u_n+1/u_n≤v_n+1/v_n то из сходимости второго ряда вытекает сходимость первого ряда или что тоже самое из расходимости первого ряда вытекает расходимость второго ряда. Док-во: Не нарушая общности можно считать, что неравенство u_n+1/u_n≤v_n+1/v_n выполняется для любых значений n. В таком случае можно записать u₂/u₁≤v₂/v₁, u₃/u₂≤v₃/v₂,…, u_n/u_n-1≤v_n/v_n-1. Перемножив почленно эти неравенства, получим u_n/u₁≤v₃/v₁, и т.д. u_n/u≤v_n/v₁ u_n≤u₁/v₁*v_n

Σ(n=1 ∞) V_n – сх-ся (U1/V1)Σ(n=1 ∞) V_n – сх-ся По т-ме 1 сравнения Σ(n=1 ∞) U_n – тоже сх-ся.

 

 

Признак Даламбера.

Пусть для ряда Σ(n=1 ∞) U_n , U_n >0, n=1,2,3.. существует lim(n→∞)( U_n)/ (U_n-1 ) = L, тогда если L>0, то ряд расходится, если L<0, то сходится.

▲Пусть L<0. Выберем число L<q<1. Рассмотрим условие сущ-ия lim(n→∞)( U_n)/ (U_n-1 ) = L. По опр lim существует n₀ >0, что для любого n> n₀ справдливо условие ( U_n)/ (U_n-1 ) < q => U_n < q U_n-1

Применим это нер-во послед-но для n= n₀ +1, n₀ +2, … Получим U_n0+1 < q U_n0 U_n0+k < q^k U_n0 . Рассмотрим ряд Σ(k=1 ∞) q^k U_n0 . Ряд сх-ся при 0<q<1. Пользуясь т-ой сравнения приходим к выводу, что сх-ся Σ(k=1 ∞)U_n0+k => Σ(n=1 ∞)U_n cx-ся

Пусть L<0. Тогда в силу того же условия, что lim(n→∞)( U_n)/ (U_n-1 ) = L существует n₀ >0, что для любого n> n₀ справдливо условие ( U_n)/ (U_n-1 ) > 1 => U_n > U_n-1. Возьмём n= n0 +1, n0+2… Получим: U_n0+2 > U_n0+1 > U_n0 > 0. Это означает, что последовательность члена ряда не стремится к 0, откуда => его расходимость. ▲

 

Признак Коши (радикальный признак Коши)

Пусть для ряда Σ(n=1 ∞) U_n U_n ≥0 существует lim (n→∞)sqrtⁿ (U_n) = L. Тогда если L<1, то ряд сх-ся, если L>1, то ряд расх-ся.

▲Пусть L<1 Выберем q: L<q<1. Тогда т.к lim (n→∞)sqrtⁿ (U_n) = L, то сущ-ет n₀ : для люб n>n₀ вып нер-во sqrtⁿ (U_n) <q => U_n < qⁿ т.к ряд Σ(n=1 ∞) qⁿ х-ся => cх-ся ряд Σ(k=1 ∞)U_n0+k => сходимость

ряда Σ(k=1 ∞)U_k .

Пусть L> 1. Рассмотрим lim(n→∞) sqrtⁿ(U_n) = L. По опр-ию lim => сущ-ет n₀: любое n > n_0. Справедливо условие sqrtⁿ(U_n) > 1 => U_n > 1 последовательность членов ряда не стрем-ся к 0 => ряд расх-ся, т.к начиная с некот n > n₀ U_n > 1 Не вып-ся признак сходимости. ▲

 

Интегральный признак Коши.Если члены некот полож ряда Σ(n=1 ∞) U_n могут быть представлены как числовые зн-ия некот. непр-оймонотонно-убывающей на пр-ке [1, +∞) ф-ии f(x) так что U₁ = f(1) … U_n =f(n), тогда: 1)если ∫ (1..+∞)f(x)dx cх-ся, то Σ(n=1 ∞) U_n сх-ся 2)если тот ин-л расх-ся, то и ряд расх-ся.

▲Рассмотрим какую-либо первообразную функцию F(x) для f(x), Т.к F’(x) = f(x)>0 => F(x) – возрастает вместе с x и при x→∞ имеет lim, конечный или нет

1) если конечный, то Σ(n=1 ∞) (F(n+1) – F(n)) сходится (*)