Теорема Больцмана-Коши

Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в некоторой связанной области D. Если в 2-х точках M₀(x₀,y₀) и M₁(x₁,y₁) этой области функция принимает значения разных знаков, то есть f(x₀,y₀)<0 а f(x₁,y₁)>0 то в этой области найдется точка M’(x’,y’) в которой функция обращается в ноль, то есть f(x’,y’)=0. Док-во: Построим на сведении к случаю одной переменной, так как область D связанная то точки M₀ и M₁ можно соединить ломанной, полностью лежащей в D. Если последовательно перебирать вершины ломанной то либо окажется, что какой-то из них функция обращается в ноль и тогда теорема доказана, либо этого не будет. Найдется такая сторона ломанной на концах которой функция принимает значения разных знаков, изменив обозначения точек будем считать, что М₀ и М₁ являются концами этой

Производные и дифференциалы функции нескольких переменных. Частные производные и частные дифференциалы.

Пусть в некоторой открытой области D имеем функцию u=f(x,y,z). Возьмем точку M₀(x₀,y₀,z₀) в этой области. Придадим переменным y и z постоянные значения, то есть y=y₀, z=z₀. Тогда функция u будет функцией только от одной переменной x, в окрестности точки x₀ будем изменять значение x. Можно поставить вопрос об вычислении производной этой функции в точке x=x₀. Придадим значению x₀ приращение ∆x тогда функция получит приращение ∆_xu=f(x₀+∆x,y₀,z₀)-f(x₀,y₀,z₀) которое назовем частным приращением по x так как оно вызвано изменением только одной переменной. По определению производной она представляет собой предел lim(∆x→0)∆_xu/∆x=lim(∆x→0)(f(x₀+∆x,y₀,z₀)-f(x₀,y₀,z₀))/∆x. Эта

Полное приращение функции.

Пусть первоначально x=x₀, y=y₀, z=z₀. Придадим всем трем переменным некоторое приращение ∆x,∆y,∆z, тогда функция u=f(x,y,z) получит приращение ∆u=∆f(x₀,y₀,z₀)=f(x₀+∆x,y₀+∆y,z₀+∆z)-f(x₀,y₀,z₀), которое называется полным приращением функции. В случае функции y=f(x) одной переменной предположения существования в точке x₀ конечной производной f’(x₀), ∆y=∆f(x₀)=f’(x₀)∆x+α∆x, α некоторая малая величина и зависит от ∆x, α→0 при ∆x→0. Получим аналогичную формулу для функции u=f(x,y,z), ∆u=∆f(x₀,y₀,z₀)=f_x’(x₀,y₀,z₀)∆x+f_y’(x₀,y₀,z₀)∆y+f_z’(x₀,y₀,z₀)∆z+α∆x+β∆y+γ∆z (*), где α,β,γ зависят от ∆x, ∆y, ∆z и вместе с ними стремятся к нулю.

Теорема.

Если частные производные f_x’(x,y,z), f_y’(x,y,z) и f_z’(x,y,z) существуют не только в точке (x₀,y₀,z₀) но и в некоторой ее окрестности и кроме того непрерывны как функции от (x,y,z) в этой точке то имеет место формула (*). Док-во: Представим полное приращение ∆u в следующем виде ∆u=f(x₀+∆x, y₀+∆y, z₀+∆z)-f(x₀,y₀,z₀). Распишем Т.О.

Полный дифференциал.

В случае функции от одной переменной y=f(x) представляем ее приращение в виде ∆y=A∆x+O(∆x) где A=const. Для возможного такого представления необходимо и достаточно существование производной f’(x₀). Причем написанное равенство справедливо при A=f(x₀). Линейная часть приращения ∆y назвали дифференциал, и обозначается dy=f’(x₀)dx. Перейдем к функции многих переменных. Рассмотрим f(x,y,z). Пусть она определена в некоторой открытой области D. Поставим аналогичный вопрос о представлении ∆u при u=f(x,y,z) ∆u=f(x₀+∆x, y₀+∆y, z₀+∆z)-f(x₀, y₀, z₀) в виде ∆u=∆f(x₀, y₀, z₀)=A∆x+B∆y+C∆z+O(ρ) (1), где ρ=√((∆x)²+(∆y)²+(∆z)²) ρ- расстояние между точками с координатами (x₀, y₀, z₀) и (x₀+∆x, y₀+∆y, z₀+∆z). Легко показать, что если справедливо разложение (1), то в точке (x₀, y₀, z₀) существует частная производная по каждой переменной, причем f_x’(x₀, y₀, z₀)=A, f_y’(x₀, y₀, z₀)=B, f_z’(x₀, y₀, z₀)=C. Если в соотношении (1) возьмем ∆y=∆z=0, а x≠0, Т.О. получим ∆u=A∆x+O(|∆x|), ∆u/∆x=A+O(|∆x|)/∆x и возьмем в обоих частях предел при ∆x→0, а получим f_x’(x₀, y₀, z₀)=A аналогично другие доказываются два равенства, то есть пришли к выводу, что соотношение (1) всегда осуществляется только в следующем виде ∆f(x₀, y₀, z₀)=f_x’(x₀, y₀, z₀)∆x+f_y’(x₀, y₀, z₀)∆y+f_z’(x₀, y₀, z₀)∆z+O(ρ). (2) Если справедлива формула (2), то функция f(x,y,z) называются дифференцируемой в точке (x₀, y₀, z₀) и выражение f_x’(x₀, y₀,

Применение дифференциала приближенного вычисления.

Если для значения x близких к x₀, и для значения y близких к y₀ предположить dx=∆x, d=∆y, dz≈∆z, то есть в правой части точного равенства dz можно отбросить α. Dz=f_x’(x₀,y₀)∆x+f_y’(x₀,y₀)∆y+α и получим приближенное равенство f(x,y)-f(x₀,y₀) ≈ f_x’(x₀,y₀)∆x + f_y’(x₀,y₀)∆y, ∆x=x-x₀, ∆y=y-y₀. Это равенство выражает заданную функцию как линейную функцию независимых переменных f(x,y)≈f(x₀,y₀)+f_x’(x₀,y₀)∆x+f_y’(x₀,y₀)∆y (*). Замена точного уравнения означает замену куска поверхности участком касательной плоскости. Приближенное равенство (*) используется для решения задач 2-х типов. 1) известны значения f(x₀,y₀), f_x’(x₀,y₀)∆x, f_y’(x₀,y₀)∆y, ∆x, ∆y, нужно вычислить приближенные значения в точке f(x₀+∆x, y₀+∆y, z₀+∆z)≈f(x₀,y₀)+f_x’(x₀,y₀)∆x+f_y’(x₀,y₀)∆y. 2) известны значения f(x₀,y₀), f_x’(x₀,y₀)∆x, f_y’(x₀,y₀)∆y тогда по погрешностям δ’, δ’’ значений x₀, y₀, |∆x|<δ’, |∆y|<δ’’, находится погрешность ε для функции f(x₀,y₀) как приближенного значения для f(x₀+∆x, y₀+∆y) тогда воспользуемся следующим неравенством |∆z|=|f_x’(x₀,y₀)||∆x |+|f_y’(x₀,y₀)||∆y |, |∆z|≤|f_x’(x₀,y₀)|δ’+|f_y’(x₀,y₀)|δ’’, выберем max из δ’ и δ’’ и обозначим δ, |∆z|≤(|f_x’(x₀,y₀)|+|f_y’(x₀,y₀)|)δ обозначим ε, тогда |∆z|≤ε, значит |∆z|/z₀ можно оценить как относительную погрешность.

Производные высших порядков, функции нескольких переменных.

Допустим, что функция z=f(x) имеет частные производные, то есть dz/dx, dz/dy. Эти производные также являются функциями от x и y. Частные производные от этих функции (то есть от произведения) являются частные производные 2-го порядка. Каждая производная 1-го порядка имеет 2 частные производные, которые обозначаются следующим образом δ²z/δx²=δ/δx(δz/δx), δ²z/δyδx=δ/δx(δz/δy), δ²z/δxδy=δ/δy(δz/δx), δ²z/δy²=δ/δx(δz/δx), получилось и производные z_xx’’.

Теорема.

Вторые смешанные производные функции z=f(x,y) при условии их непрерывности равны между собой f_xy’’(x,y)=f_yx’’(x,y). Частные производные от частных производных второго порядка называются частные производные третьего порядка и т.д.