Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

Ряд (1.5)

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Если ряд (1.6)

составленный из модулей членов ряда (1.5), сходится, то ряд (1.5) также сходится.

Ряд (1.5) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (1.6).

Сходящийся знакопеременный ряд (1.5) называется условно сходящимся, если ряд (1.6) расходится.

Ряд вида

(1.7)

где U_n > 0, n = 1, 2, …, называется знакочередующимся.

Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (1.7) удовлетворяют условиям:

1) U₁ > U₂ > U₃ > … > U_n > …;

2) ,

то ряд (1.7) сходится. Остаток ряда r_n

r_n = (-1)ⁿU_n+1 + (-1)ⁿ⁺¹U_n+1 + …

имеет знак своего первого члена и меньше его по модулю, т.е. |r_n| < U_n+1.

Пример 1.4.

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .

Ряд из модулей его членов сходится по признаку сравнения, так как , а ряд сходится, следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Пример 1.5.

Исследовать сходимость ряда

- знакочередующийся ряд.

а). Ряд из модулей его членов расходится (по интегральному признаку сходимости).

б). Проверим условную сходимость по признаку Лейбница:

1) > > > …;

2) =>

данный ряд сходится условно.

Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (1.8)

где C_n – коэффициенты степенного ряда, C_n, a R.

Если а = 0, то ряд (1.8) принимает вид

(1.9)

Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля

1). Если степенной ряд (1.9) сходится при значении x = x₀ ≠ 0, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях х таких, что |x| < |x₀|;

2). Если степенной ряд (1.9) расходится при х = х₁, то он расходится при всех значениях х таких, что |x| > |x₁|.

Областью сходимости степенного ряда (1.9) является некоторый интервал с центром в точке х = 0.

Радиусом сходимости ряда (1.9) называется такое число R, что во всех точках х, для которых |x| < R, ряд сходится, а во всех точках |x| > R ряд расходится.

Радиус сходимости степенного ряда находится по формулам

если эти пределы существуют.

Примеры

Определить область сходимости рядов:

1.

=> интервал сходимости (-3, 3).

Исследуем сходимость ряда в граничных точках:

а) х = 3, получаем ряд - расходится (гармонический ряд);

б) х = -3, получим ряд - сходится по признаку Лейбница:

1) 1 > > > … 2)

Область сходимости – [-3; 3).

2.

Определим радиус сходимости ряда:

=>R = 2,

|x – 1| < 2;

-2 < x – 1 < 2;

-1 < x < 3.

Интервал сходимости – (-1, 3). Исследуем сходимость ряда в граничных точках:

2) х = 3, получаем - знакоположительный, => ряд расходится.

3) х = -1, получаем ряд - знакочередующийся, расходится по признаку Лейбница, так как . Область сходимости – (-1, 3).