Схема исследования функции и исследование её графика

1. Область определения функции, промежутки непрерывности, точки разрыва, вертикальные асимптоты

2. точки пересечения с осями.

3. чётность/нечётность

4. периодичность

5. промежутки монотонности и экстремумы

6. Выпуклости, точки перегиба

7. наклонные асимптоты

Формула Тейлора

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные (n+1) порядка. Тогда для любого х в (x0-d;x0+d) найдется такое x(кси)Î(х0;х), такая что справедлива формула:

- многочлен Тейлора, остаточный член в формуле Лагранжа.

Формула Маклорена: называют формулу Тейлора при х0=0.

Функция нескольких переменных.

Предположим, что задано множество D упорядоченных пар чисел. Если каждой паре из множества D по некоторому правилу сопоставить единственную переменную zÎZ, то говорят, что на множестве D задана функция z=f(x;y).

Предел функции двух переменных.

Введём понятие дельта окрестности точки M0(x0;y0). M(x;y)ÎUd(M0), .

Определение: пусть функция Z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки М0, за исключением быть может самой точки М0. число А называется пределом функции z=f(x;y) при х®х0, у®у0. M(x;y)®M0(x0,y0).

Если для любого E>0 существует d>0, такое что для всех х¹х0, у¹у0 и удовлетворяет => |f(x,y)-A|<E

Теорема: Пусть функция f(M) и g(M) определены на одном и том же множестве D и имеют следующий предел , а , тогда функции g(M)±f(M); g(M)*f(M); g(M)/f(M), при f(M)¹0, так же имеют пределы, которые соответственно равны A±B, A*B, A/B.

Функция z=f(M) называется бесконечно малой при M®M0. Если , то тогда функция может быть представлена в виде: Z(M)=A+a(M)

Непрерывность функции 2-х переменных

Определение: Пусть функция определена в некоторой окрестности точки М0. функция f(M) называется непрерывной в точке М0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке

Определение: функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной на всей этой области.

Определение: Точки в которых нарушается непрерывность называются точками разрыва.

Функция, z=f(x,y) называется непрерывной в точке М0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Частные производные

Рассмотрим функцию z=f(M) в некоторой окрестности точки М, придадим переменной х в М некоторое приращение, зафиксировав при этом у. От точки М перейдём к точке М1: М(x;у)®М1(х+Dх;у), тогда соответствующее приращение функции DxZ=∫f( х+Dх;у)-f(x;y) называется частным приращением по х в точке М.

Если существует , то говорят о том, что существует частная производная , соответственно частная производная по y: .

Если Zx’ определена в окрестности точки М и существует производная этой функции по переменной х, то это производная второго порядка.

Если существует частная производная по у, то её называют смешанной производной второго порядка.

Теорема: Если существуют смешанные производные второго порядка Zxy’’ и Zyx’’, в некоторой окрестности точки М, и непрерывны в самой точке М, то они равны между собой в этой точке.

Замечание: