Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Числовые последовательности и способы их задания. Геометрическое изображение числовых последовательностей



2015-12-08 3678 Обсуждений (0)
Числовые последовательности и способы их задания. Геометрическое изображение числовых последовательностей 0.00 из 5.00 0 оценок




Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве всех натуральных чисел. Общий вид: а1; а2; а3; … аn; … (или (аn)).

Способы задания последовательностей:

1. Последовательность может быть задана при помощи формулы, указывающей, как по номеру n члена последовательности вычислить его значение а.

Последовательность, у которой все члены принимают равные между собой значения, называется постоянной последовательностью.

2. Реккурентный (индуктивный) способ: он состоит в том, что указывается правило (обычно это формула), позволяющая вычислить общий член последовательности через предыдущие, и задается несколько начальных членов последовательности. Эта формула называется реккурентным соотношением.

3. Последовательность может быть задана словесно, т.е. описанием ее членов.

При изучении последовательностей удобно использовать их геометрическое изображение. Для этого используют в основном 2 способа:

1. Т.к. последовательность (аn) есть функция, заданная на N, то ее можно изобразить как график этой функции с координатами точек (n; аn).

2. Члены последовательности (аn) можно изобразить точками х=аn.

 

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Последовательность (аn) называется ограниченной, если существуют числа M и m, такие, что имеет место неравенство m≤an≤M. В противном случае она называется неограниченной.

Существует 3 вида неограниченных последовательностей:

1. Для нее существует m и не существует M – в таком случае она ограниченная снизу и неограниченная сверху.

2. Для нее не существует m и существует M – в таком случае она неограниченная снизу и ограниченная сверху.

3. Для нее не существует ни m, ни М – в таком случае она не ограниченная ни снизу, ни сверху.

 

Монотонные последовательности.

К монотонным последовательностям относятся убывающие, строго убывающие, возрастающие, строго возрастающие последовательности.

Последовательность (аn) называется убывающей, если каждый предыдущий член не меньше последующего: аn+1≤an.

Последовательность (аn) называется строго убывающей, если каждый предыдущий член строго больше последующего: аn>a2>a3>…>an+1>…

Последовательность (аn) называется возрастающей, если каждый последующий член не меньше предыдущего: аn≤an+1.

Последовательность называется строго возрастающей, если каждый последующий член строго больше предыдущего: а1<a2<a3<…<an<an+1<…

 

Предел числовой последовательности. Основные теоремы о пределах.

Число а называется пределом последовательности (аn), если для каждого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что для любого n>N выполняется неравенство:

|an – a| < ε.

В этом случае пишут: lim an = a , или an->a при n->∞.

n->∞

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.

Если последовательность имеет предел, то она ограниченная.

Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Для того, чтобы число а было пределом последовательности (аn), необходимо и достаточно, чтобы аn имело представление аn=а+αn, где (αn) - бесконечно малая последовательность.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Теоремы о пределах:

1. О пределе суммы: Если последовательность (аn) и (вn) сходятся, то последовательность (аn + вn) также сходится и: lim (аn + вn) = lim аn + lim вn.

n->∞ n->∞ n->∞

2. О пределе произведения: Если последовательности (аn) и (вn) сходятся, то последовательность (аn ∙ вn) также сходится и:

lim (аn ∙ вn) = lim аn ∙ lim вn.

n->∞ n->∞ n->∞

Следствие 1: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim (саn) = с ∙ lim аn

n->∞ n->∞

3. Если последовательности (аn) и (вn) сходятся, то последовательность (аnn) также сходится и: lim (аn / вn) = (lim аn )/ (lim вn).

n->∞ n->∞ n->∞

Функция. Способы задания функции.

Если каждому элементу х по какому-либо правилу f поставлен в соответствие элемент у, единственный для каждого х, то говорят, что на множестве А задана функция f со значением из множества В, и пишут: f :А->В, или у=f (х).

Пусть задана функция у=f (х). Тогда х назыв. аргументом или независимой переменной, а у – значением функции или зависимой переменной.

Множество А называют областью определения функции, а множество всех у, поставленных в соответствие хотя бы одному х – множеством значений функции. Область определения функции называют также областью значений аргумента, или областью изменения независимой переменной..

Способы задания функции:

1. Табличный способ.

2. Аналитический способ: при таком способе указывается область определения функции (множество А), и формулируется закон (задается формула), по которому каждому х сопоставляется соответствующий у.

3. Способ словесного описания.

4. Геометрический (графический) способ: задать функцию графически – значит изобразить ее график.

 



2015-12-08 3678 Обсуждений (0)
Числовые последовательности и способы их задания. Геометрическое изображение числовых последовательностей 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Числовые последовательности и способы их задания. Геометрическое изображение числовых последовательностей

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы...
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (3678)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.006 сек.)