П.4. Оценки генеральной средней и генеральной дисперсии

1. Рассмотрим повторную выборку x₁, x₂, …, x_n. Будем считать, что выборка извлечена из генеральной совокупности и имеет достаточно большой объем, чтобы к ней были применимы законы больших чисел. Будем рассматривать вместо значений x₁, …, x_n случайные независимые величины (т.к. выборка повторная) Х₁, …, Х_n, имеющие один и тот же закон распределения. Положим, что генеральная совокупность характеризуется генеральной средней и дисперсией s². Для них требуется подобрать оценки по выборке.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Выборочная средняя повторной выборки есть несмещенная, состоятельная и эффективная оценка генеральной средней .

Теорема. Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии s².

Несмещенную оценку генеральной дисперсии можно построить, если использовать величину

.

Величину называют исправленной выборочной дисперсией.

Теорема 22.4. Выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия являются состоятельными оценками генеральной дисперсии s².

2.Рассмотрим бесповторную выборку. В случае бесповторной выборки СВ Х₁, Х₂, …, Х_n будут зависимыми. Рассмотрим, например, события Х₁ = х₁ и Х₂ = х₂. При этом частота х₁ равна N₁, объем совокупности N.

Тогда

, .

Для оценок генеральной средней и генеральной дисперсии справедливы следующие утверждения.

Теорема. Выборочная средняя бесповторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней .

Теорема. Выборочная дисперсия бесповторной выборки есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии s², причем

,

где n – объем бесповторной выборки.

Для большого объема генеральной совокупности справедливо соотношение N » N – 1, следовательно

.

Так же, как и для случая повторной выборки, введем понятие исправленной выборочной дисперсии

.

Очевидно, что

.

Теорема. Исправленная выборочная дисперсия является несмещенной, состоятельной оценкой генеральной дисперсии, но не является эффективной.

Интервальные оценки вариационного ряда.

Основные определения.

Ранее мы изучали и работали с оценками, которые характеризуются одним изолированным числом, - точечными оценками вариационного ряда. На практике таких оценок недостаточно. Например, несмотря на то, что выборочная средняя является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой генеральной средней, ее отклонения от генеральной средней в различных выборках меняются. Возникает вопрос, можно ли для выборки определенного объема с определенной уверенностью утверждать, что отклонение истинного значения параметра генеральной совокупности от его оценки, вычисленной по выборочной совокупности, находится в заданном интервале? На подобные вопросы отвечают интервальные оценки.

Определение 24.1. Доверительным интервалом (или интервальной оценкой) называется интервал [ , ], который «накрывает» с заданной вероятностью 1 - a (0 < a < 1) неизвестный параметр Q, т.е.

Р( £ Q £ ) = 1 - a.

Определение 24.2. Вероятность g = 1 - a называется доверительной вероятностью или надежностью оценки.

Определение 24.3. Доверительный интервал называется симметричным, если выполняются условия

Р( ³Q) = Р( £ Q) = .

Иногда используются односторонние доверительные интервалы.

Определение 24.4. Интервалы, границы которых удовлетворяют условиям

Р( ³Q)= a или Р( < Q) = a,

называются соответственно правосторонним или левосторонним доверительными интервалами.