Функции нескольких переменных. Основные понятия
Основные понятия 1.1. Для определения функции нескольких переменных необходимы некоторые понятия, связанные с геометрией на плоскости и в пространстве. Точки на плоскости обозначаются или просто , где x и y называются координатами точки P. Расстояние между точками и определяется формулой . Для удобства перехода к n-мерному пространству точки на плоскости можно обозначить , где x1 и x2 будут называться координатами точки X, а расстояние между точками и будет определяться формулой . В n-мерном евклидовом пространстве расстояние между точками и вычисляется аналогично: . Принадлежность точки пространству или плоскости обозначается .
1.2. Множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству , называется открытым кругом радиуса a с центром в точке . Множество же точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам , называется открытым прямоугольником.
1.3. Любой открытый круг радиуса или открытый квадрат со стороной длины с центром в точке называется δ-окрестностью этой точки. Окрестностью точки “ ” ( обозначается ) называется множество всех точек таких, что . Это обозначается так: .
1.4. Аналогично, множество точек , для которых выполняется неравенство , называется n-мерным открытым шаром радиуса a с центром в точке . Множество же точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам . называется n-мерным открытым параллелепипедом.
1.5. Любой открытый n-мерный шар радиуса δ или куб с центром в точке и длиной ребра 2δ называется n-мерной δ-окрестностью этой точки.
1.6. Мы рассматривали открытые шары и кубы, но это же верно и для замкнутых шаров и кубов. Только все неравенства, с помощью которых они определялись, будут нестрогими. При этом шары и кубы также являются множествами. Пусть D- некоторое множество точек пространства . Точка называется внутренней точкой множества D, если существует δ-окрестность точки P такая, что она полностью включается в множество D . Точка P называется граничной точкой множества D, если в любой ее δ-окрестности содержатся как точки из множества D, так и точки, не принадлежащие множеству D. Совокупность граничных точек называется границей и обозначается или , т.е. . Множество D называется замкнутым, если , т.е. любая граничная точка включается в множество D. Множество D называется открытым, если все его точки внутренние. Множество D называется связным, если любые его две точки можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей D. Связное открытое множество называется областью. Множество D называется ограниченным, если существует такая δ-окрестность начала координат , что все точки множества D принадлежат ей.
Функции нескольких переменных
2.1. Функция от двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается некоторое множество точек из плоскости , и если каждой точке , имеющей координаты , в силу некоторого закона приведено в соответствии число , то говорят, что на множестве задана функция двух переменных . Множество называется областью определения функции . Функцию от двух переменных можно изобразить в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат в виде геометрического места точек , а область определения – на плоскости .
Пример. Геометрическим местом точек для функции является верхняя половина шаровой поверхности (рис.1). Область определения находится, исходя из условия неотрицательности подкоренного выражения (рис.2): (если граница области не включается, то изображается штриховой линией).
2.2. Не всегда удается изобразить график функции. Построение графиков упрощается с помощью линий уровня. Линией уровня называется множество точек , в которых функция принимает одинаковое значения.
Пример. Построить линии уровня функции .
2.3. Функция нескольких переменных, которую можно записать в виде , определяется аналогично. При это определение лишено наглядности изображения. При область определения функции можно представить в пространстве. В этом случае вместо линий уровня вводится понятие поверхностей уровня. Они точно так же могут вырождаться в какую-либо кривую или точку.
Предел функции
3.1. Пусть функция определена в некоторой -окрестности точки за исключением, быть может, самой этой точки. Число называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для любого существует такое , что из условия следует . Предел функции обозначается так: .
Пример. Покажем на основе этого определения, что предел функции в точке равен 6. Это значит, что для произвольного необходимо найти такую точку - окрестности точки , что из условия следует равенство . Рассмотрим квадрат со стороной с центром в точке . Если точка принадлежит этому квадрату, то и для таких точек квадрата для . Если положить, что , то получается необходимое неравенство для всех точек квадрата. А для точек круга радиуса с центром в точке тем более выполняется это неравенство. Таким образом, указана - окрестность , для всех точек которой выполняется это неравенство .
Пример. Докажем, что функция имеет предел, равный нулю, в начале координат . Функция не определена в точке , но имеет предел в этой точке. Зададим произвольное . Тогда если , то по определению . . Положив , получаем необходимое неравенство.
Пример. Вычислим , используя замечательный предел. Функция не определена на оси абсцисс, но в точке имеет предел. В самом деле, сделав замену , имеем . Пример. Рассмотрим функцию . Пусть точка стремится к по параболе , где . Тогда , т.е. подходя к точке по различным параболам (для различных ), получаем различные пределы. А это означает отсутствие предела.
3.2. Пусть функция определена в окрестности . Число называется пределом функции при , если для любого существует такое , что из условия следует, что .
Пример. Покажем, что . Зададимся произвольными . Если , то или и ; далее, очевидно, что или , поэтому , следовательно . Положив , получим необходимые неравенства.
Пример. Вычислим . Для этого введем полярные координаты , , тогда . Из условия , вытекает, что и . Здесь произвели замену переменной , откуда если , то .
Непрерывность функции 4.1. Пусть функция определена в некоторой δ – окрестности точки , в том числе в самой точке . Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в точке существует и равен значению функции в этой точке, т.е. . Функцию называют непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Условие непрерывности в точке можно записать в эквивалентной форме: .
Можно ввести приращение функции : .
Это означает, что условие непрерывности функции в точке эквивалентно выполнению равенства . Понятие предела и непрерывности для функции нескольких переменных аналогичны соответствующим понятиям для функции одной переменной, поэтому основные теоремы для непрерывных функций одной переменной остаются справедливыми и для функции нескольких переменных, при этом роль отрезка играет замкнутое множество.
4.2. Точка множества, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва функции. Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва ( для ) и т.д.
Пример. Функция непрерывна при любых значениях x и y, т.е. в любой точке плоскости . Действительно, преобразовав функцию , найдем приращение функции следовательно, .
Пример. Найти точки разрыва функции . Функция определена в точках, в которых знаменатель обращается в ноль. Поэтому она имеет поверхность разрыва- плоскость . Заметим, что разрыв в точке , где , можно устранить, положив , т.е. точка является точкой устранимого разрыва.
Пример. Найти точки разрыва функции . Заметим, что разрыв в точке , где можно устранить, положив , т.е. точка - точа устранимого разрыва.
Пример. Найти точки разрыва функции . Функция определена всюду, кроме точки . Рассмотрим значение z вдоль прямой : .
Подходя к точке по различным прямым, мы будем получать различные предельные значения, зависящие от k. Это значит, что функция не имеет предела в точке . Функцию нельзя доопределить в этой точке так, чтобы она стала непрерывной. Следовательно, эта точка является точкой неустранимого разрыва.
Частные производные
5.1. Пусть функция определена в некоторой – окрестности точки . Если дать независимой переменной приращение , то функция получит приращение, которое называют частным приращением функции по аргументу и обозначают символом , так что .
Аналогично определяется частное приращение по : .
Наконец, сообщив аргументу приращение , а аргументу – приращение , можно получить для новое приращение , которое называется полным приращением функции , определяемое формулой .
Надо заметить, что, вообще говоря, полное приращение не равно сумме частных приращений, т.е. .
Пример. . Аналогичным образом определяются частные и полное приращения функции любого числа переменных.
5.2. Частной производной по (по ) от функции называется предел отношения частного приращения по ( по ) к приращению при стремлении к нулю и обозначается одним из символов .
Таким образом, по определению, . или .
Как это видно, правила вычисления частных производных совпадают с правилами, указанными для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная. Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.
Пример. . . Частные производные и , вообще говоря, являются функциями переменных и .
5.3. Если у функции (у функции ) существует частная производная по переменной (по переменной ), то ее называют частной производной второго порядка от функции по переменной (по переменной ) и обозначают (и ) или (и ). Таким образом, по определению: . Если существует частная производная от функции (от функции ) по переменной (по переменной ), то эту производную называют смешанной частной производной второго порядка от функции и обозначают символом . Как это видно для функции от двух переменных , можно рассматривать четыре производных второго порядка. Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по , так и по . Получим частные производные третьего порядка. Их будет уже восемь: .
Вообще, частная производная – го порядка есть первая производная от производной –го порядка. Например,
Естественно возникает вопрос, будут ли равны между собой частные производные, если они взяты по одним и тем же переменным одно и то же число раз, но в разном порядке. Например, равны ли и и ? В общем случае скажем: если нарушается непрерывность в точке у этих производных, то ответ на этот вопрос отрицательный.
Пример. . Вычислим частные производные этой функции: Аналогично вычисляются смешанные производные: Таким образом, .
5.4 Теорема (о смешанных производных) Пусть функция определена вместе со своими частными производными в некоторой – окрестности точки , причем непрерывны в этой точке, тогда результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Пример. как видно, .
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1221)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |