Дифференцирование функции
Дифференцирование суммы, произведения, частного функции нескольких переменных производится по обычным правилам дифференцирования.
7.1. Полный дифференциал сложной функции
Если у функции каждая переменная в свою очередь является функцией одной или нескольких независимых переменных, то полный дифференциал этой сложной функции вычисляется по той же формуле, что и для функции независимых переменных . В этом проявляется инвариантность формы первого дифференциала.
7.2. Дифференциал высшего порядка функции нескольких независимых переменных.
Пусть функция имеет вторые непрерывные частные производные. Второй дифференциал от нее определяется равенством , при этом дифференциалы dx, dy рассматриваются как независящие от, x y и дифференциал 2-го порядка функции z вычисляется по формуле . Для функции большего числа переменных с использованием сокращенного обозначения символа суммирования получим следующую формулу .
Так как , то второй дифференциал от нее представляет собой квадратичную форму относительно независимых дифференциалов : k=1,…,n. Отметим, квадратичной формой от переменных : k=1,…,n называется функция вида , где .
Для дифференциала n-го порядка функции двух независимых переменных при наличии соответствующих производных справедлива следующая символическая формула: , которая формально развертывается по биномиальному закону. Вообще, дифференциал произвольного порядка от функции z для независимых дифференциалов определяется по индукции при помощи рекуррентного соотношения , где берутся для независимых дифференциалов , которые к тому же рассматриваются при вычислениях как постоянные. В многомерном случае имеет место аналогичная символическая формула .
7.3. Дифференциал высшего порядка функции нескольких зависимых переменных
Если , где аргументы есть функции одного переменного или нескольких зависимых переменных, то при наличии соответствующих производных для дифференциала 2-го порядка справедлива формула .
Если , то этой формуле можно придать следующую символическую форму:
.
Вычисление дифференциалов более высших порядков через зависимые переменные производится подобным образом последовательно, учитывая рекуррентное соотношение
, основные правила дифференцирования и зависимость производных от аргументов.
7.4. Производная сложной функции одной независимой переменной
Если есть дифференцируемая функции аргументов и , которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной : , то имеет место формула . В частности, если , то «полная» производная функции по равна .
Пример. . .
Пример. . ; .
7.5. Производная сложной функции нескольких независимых переменных
Если , где есть дифференцируемые функции, независимые переменные, то частные производные выражаются так: ; . В частности, если , то , где и частные производные равны ; .
Пример. ;
Пример. ; .
7.6. Производная неявной функции
Если уравнение определяет как функцию независимых переменных и , где - дифференцируемая функция всех своих переменных и , то частные производные этой неявно заданной функции находятся по формулам
Если , то неявная функция имеет только одну независимую переменную и производная неявно заданной функции равна .
Пример. ; ; .
Пример. ; .
7.7. Производная неявных функций, определяемых системой уравнений
Если есть дифференцируемые функции независимых переменных и , определяемые неявно системой уравнений где и - дифференцируемые функции своих переменных и якобиан , то частные производные этих неявных функций находятся из системы уравнений
В частности, если , то эта система уравнений принимает следующий вид:
где - дифференцируемые функции своих переменных и их якобиан не равен нулю.
Пример. – ? Решение. ; .
Пример. ? Решение. ; .
7.8. Производная функции, заданной параметрически
Если есть дифференцируемая функция переменных , заданная параметрическими уравнениями где дифференцируемые функции своих переменных и якобиан , то частные производные функции, заданной параметрически, могут быть найдены из системы уравнений
Пример. Решение. . подставляя выражения для и в выражение для , получаем
7.9. Производные высших порядков сложных и неявных функций
Частные производные высших порядков сложных и неявных функций вычисляются дифференцированием формул, определяющих производные, порядок которых ниже на единицу. Скажем, чтобы найти вторую производную от функции , например, , нужно продифференцировать по частным образом выражение ранее определенной первой производной , помня при этом, что фигурирующая в нем функция зависит от , т.е. следует применить правило дифференцирования сложной функции. В результате выражение для может содержать производную . Последнюю следует заменить уже найденным для нее значением.
Пример. На основании (7.5) запишем: . Далее: .
Пример. . Введем обозначение: Согласно (7.6) запишем
Далее, определим вторые производные:
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1090)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |