КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1. Вычислить пределы:
Задание 1 Вычислить пределы: 1. 2.
3.
4. 5. Делаем замену , , . 6. .
Вычислить пределы. 1. 2. 3. 4.
Задание 2 При решении примеров используются формулы производных сложных функций , где : и другие. 1. . 2. Преобразуем: . . 3. 4. . 5. логарифмируем: дифференцируем:
6. логарифмируем: дифференцируем:
7. .
Задание 3 Провести полное исследование функций и построить графики. а) ; б) . Решение: а) . 1) Функция определена на всей оси Ох, кроме точки , где она терпит бесконечный разрыв. 2) Находим наклонные асимптоты : ; Наклонная асимптота . Вертикальная асимптота . Находим критические точки, в которых первая или вторая производная равна нулю, либо не существует: ; . Критическими точками будут и , где =0 . В точке функция не существует. Из формулы для следует, что y<0 при , и y>0 при . Из формулы для следует, что при x из (- ,-2) >0, т.е. функция возрастает; в интервале (-2,-1) <0 – функция убывает, а точка является точкой максимума. В интервале (0,+ ) >0 – функция возрастает. В интервале (-1;0) производная <0 и функция убывает. Точка – точка минимума. В интервале (- ;-1) <0 – график функции выпуклый, в интервале (-1; + ) >0 - график вогнутый.
Результаты исследований сведем в таблицу:
Строим график:
б) . 1) Функция определена, если >0 , т.е. В точках и функция имеет бесконечный разрыв, так как: ; . 2) Прямые и – вертикальные асимптоты, т.к. lim |y|= в этих точках. Наклонные асимптоты: ; ; Таким образом, уравнение асимптоты . 3) Находим и : ; . Критические точки: 0, в точках и функция не существует; =0 , точка – критическая точка; ОДЗ. >0 в интервалах (- ;-2) и (1;+ ) – функция возрастает; <0 в интервале (1;+ ) – график функции выпуклый; >0 в интервале (- ;-2) – график функции вогнутый; Из условия у=0 найдем точку пересечения кривой с осью Ох.
. Составим таблицу, включающую точки и ; .
Строим график функции:
Задание 4
Найти неопределённые интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.
а) ; б) ; в) ; г) .
Решение.
а) . Проверка. Найдём производную от полученного результата: . Получили исходную подынтегральную функцию. Значит, интеграл найден верно. Ответ: . б) находят интегрированием по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид . Примем . Первое равенство дифференцируем, второе интегрируем: . Получаем: . Применяя формулу интегрирования по частям, находим: . Проверка. . Интеграл вычислен верно. Ответ: . в) – интеграл от рациональной дроби. Найдём корни многочлена, стоящего в знаменателе, т. е. решим уравнение : и разложим знаменатель дроби на множители, а дробь – на сумму двух простейших дробей: . Приравняем числители первой и последней дроби: . Это тождество должно выполняться при всех . Подставим : . Теперь подставим : . Значит, разложение дроби имеет вид: . Найдём теперь заданный интеграл: . Ответ: . г) В интеграле сделаем замену переменной , откуда . Дифференцируя обе части, найдём: . После замены интеграл принимает вид: = . Ответ: .
Задание 5 Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость: .
Решение.
Функция не ограничена в окрестности точки x = 3. Поэтому точка x = 3 – особая. По определению несобственного интеграла Ответ: .
Задание 6 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение. Искомая площадь заштрихована на рисунке. Её величина вычисляется по формуле . Ответ: .
Задание 7
Дано: A= , B= , C= . Найти: . Решение: = = = = ; = +5 = + = ;
= = = ; , где ; - алгебраическое дополнение элемента .
Проверка: = = . Получили, что , значит обратная матрица вычислена верно.
Задание 8
Доказать совместность системы уравнений и решить её а) методом Гаусса, б) матричным методом. Решение: Матрица системы , расширенная матрица . Вычислим ранги матрицы А и матрицы С. Применим к матрицам А и C элементарные преобразования. Обозначим схематически умножение i-й строки на число m и прибавление полученной строки к k-й строке. Аналогичное обозначение применим к столбцам. Деление строки (столбца) на число N обозначим
A=
. Следовательно, ранг А = 3. Вычислим ранг матрицы С.
C =
.
Следовательно, ранг С = 3 Так как ранг А = ранг С, то система совместна.
а) Решение системы методом Гаусса. Рассмотрим расширенную матрицу С и осуществим преобразование со строками
C= . Коэффициенты матрицы G являются коэффициентами системы уравнений: Получим: .
б) Решение системы матричным методом. Систему уравнений можно представить в матричном виде, если обозначить матрицы: A= ; B= ; X= Система уравнений в матричном виде: A X=B Решение имеет вид: X= B Найдем
.
Вычислим алгебраические дополнения:
X= B = = = = Следовательно, .
Задание 9
Даны координаты вершин пирамиды : (1;3;0) ; (7;4;1) ; (2;9;6) ; (4;6;6). Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) уравнение прямой ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) объём пирамиды; 7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 8) сделать чертеж. Решение: 1) координаты векторов: =(6;1;1) ; =(1,6,6); =(3;3;6). Длины векторов: = = ; = = . 2) Угол между ребрами и : , . 3) уравнение прямой : 4) уравнение плоскости : (x-1)(6-6) - (y-3)(6 6-1 1)+z(6 6-1 1)=0 -35(y-3) + 35z = 0 y-z-3=0 5) угол между ребром и гранью (плоскостью ) , . 6) объем пирамиды:
7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Направляющий вектор высоты – это нормальный вектор плоскости на грань . Каноническое уравнение высоты: .
8) Чертеж:
СОДЕРЖАНИЕ
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (803)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |