Лекция 7. Определение производной. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной. Производные основных элементарных функций
Приращение аргумента и функции. Пусть дан график непрерывной функции. Опр. Разность между конечным и начальным значениями аргумента называется его приращением, т.е. . При этом функция получает при-ращение : Т. Если , то функция непрерывна в точке . Док-во. Приращение функции , следовательно, функция определена как в самой точке , так и в ее -окрестности. При аргумент , поэтому . Отсюда следует, что , следовательно, функция непрерывна в точке . Задачи, приводящие к понятию производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно согласно закону , где – путь, который проходит точка за время . Требуется определить скорость движения точки в момент времени . Обозначим через путь, пройденный за время . Очевидно, что . Средняя скорость, с которой движется точка определяется как . Для того чтобы определить скорость в момент времени , вычислим предел .
Пусть дан график функции . Требуется найти такую прямую линию, которая касается графика функции только в одной точке . Опр. Касательной называется предельное положение секущей прямой при стремлении произвольным образом. Вычислим тангенс угла наклона секущей . Следовательно, тангенс угла касательной к положительному направлению оси абсцисс будет равен предельному значению приведенной выше величины . Производная функции. Ее механический и геометрический смысл. Опр. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последней величины к нулю произвольным образом, т. е. . Из рассмотренных выше задач следует, что с точки зрения механики производная определяет мгновенную скорость движения, а с геометрической точки зрения производная функции равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс в заданной точке, в которой вычисляется значение производной. Уравнение касательной и нормали в заданной точке графика функции . Пусть дан график функции Требуется составить уравнения касательной и нормали в точке . Для составления уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом: . В силу того, что , уравнение касательной имеет вид: . Так как нормаль перпендикулярна к касательной, то ее угловой коэффициент связан с угловым коэффициентом касательной соотношением: . Следовательно, уравнение нормали имеет следующий вид: . Пример Найти угловой коэффициент касательной в точке к графику функции . Так как , то вычислим производную функции, используя определение производной: ; ; ; следовательно, . Вычислим значение производной в точке , а тем самым и угловой коэффициент касательной в заданной точке . Пример Составить уравнение касательной для предыдущего примера (самостоятельно). Дифференцируемость непрерывных функций. Опр. Нахождение конечной производной от непрерывной функции называется дифференцированием. Т. Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке функция непрерывна. Док-во. Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существует конечный предел . Используя свойство 4 для бесконечно малых функций, можно записать, что , где – бесконечно малая функция в -окрестности точки . Отсюда следует, что . Вычислим предел этого выражения при . Так как при функция , как бесконечно малая функция, а производная остается неизменной, то . По Т получаем, что функция непрерывна в точке . В силу произвольности точки функция будет непрерывна в любой точке своей области определения. Утверждение, обратное к рассмотренному в Т2, что всякая непрерывная в точке функция будет в этой точке дифференцируема, будет верным не во всех случаях, т.е. не всякая непрерывная функция является дифференцируемой. Пример Дифференцируема ли функция в точке .
Изобразим график данной функции
В точке данная функция определена, имеет равные лево- и правосторонние пределы (пределы равны нулю), которые равны значению функции в этой точке, следовательно, функция непрерывна в точке . Однако в этой точке производная не существует, так как слева , а справа . Отсюда следует, что в точке производной нет. Пример Дифференцируема ли функция в точке . В точке данная функция непрерывна (доказать самостоятельно), однако в данной точке производная равна , т.е. в точке производная бесконечна. Правила дифференцирования. 1). Производная от суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных от этих функций, т.е. . Док-во. Пусть , тогда в приращенной точке функция равна . Приращение функции будет равно: , а значит производная от приведенной функции . Производная от суммы (разности) любого числа функций равна сумме (разности) производных от этих функций. 2). Производная от произведения двух функций вычисляется по формуле: . Док-во. Пусть , тогда в приращенной точке функция равна . Приращение функции будет равно: , а значит производная от приведенной функции (так функции непрерывны, то при и приращение ) = . 3). Производная от частного двух функций вычисляется согласно формуле: (доказать самостоятельно). 4). Производная от обратной функции вычисляется по формуле: . Док-во. Так как (при и приращение , следовательно,) или . 5). Производная от сложной функции вычисляется по формуле: . Док-во. Так как (при и приращение , следовательно,) или . Производная от основных элементарных функций. 1). Постоянная функция . Вычислим приращение постоянной функции . Отношение приращения функции к приращению аргумента . Следовательно, , т.е. производная от постоянной величины равна нулю. Сл1. При вычислении производной от произведения константы на функцию получаем , т.е. постотянный множитель можно выносить за знак производной. Сл2. Аналогично поступают при вычислении производной от частного или . 2). Логарифмическая функция . Используя определение производной, находим
(выражение в квадратных скобках стремится к числу по второму замечательному пределу) . Сл1. Производная от сложной логарифмической функции равна . Сл2. Если основание логарифма , то . 3). Степенная функция . Для нахождения производной от этой функции воспользуемся методом логарифмического дифференцирования, то есть . Возьмем натуральный логарифм от степенной функции . Отсюда находим . Таким образом, . Для сложной функции эта формула имеет следующий вид . Сл. Наиболее распространенными являются случаи: а) : (см. Сл2. для постоянной функции этого пункта); б) : ; в) : . 4). Показательная функция . Воспользуемся логарифмическим дифференцированием . Отсюда находим . Для сложной функции эта формула имеет следующий вид . Сл. Если основание показательной функции , то . В случае сложной функции производная равна . 5). Тригонометрические функции: а) . Вычислим производную от синуса .
При выводе формулы был использован первый замечательный предел. Для сложной функции производная равна . Самостоятельно получить формулы для других тригонометрических функций: б) . ; . в) . ; . г) . ; .
6). Обратные тригонометрические функции: а) . Вычислим производную от арксинуса, для чего от обеих частей равенства возьмем функцию синус, то есть найдем обратную функцию . Беря производную от обеих частей равенства с учетом того факта, что функция, стоящая справа, является сложной, получим . Отсюда находим, что . Для сложной функции . Самостоятельно получить формулы для других обратных тригонометрических функций:
б) ; ; .
в) ; ; .
г) ; ; . Пример Найти производную функции . По правилу дифференцирования сложной функции и с учетом выражения для логарифмической и показательной функций имеем . Пример Найти производную функции . В данном случае производная . Полученные производные от элементарных функций сведем в таблицу:
Производная от параметрически и неявно заданных функций. Опр. Если функция задается в виде системы уравнений , то говорят, что функция задана в параметрическом виде. Чтобы продифференцировать параметрически заданную функцию, надо из первого уравнения системы найти обратную функцию и подставить ее во второе уравнение системы. В результаты этих действий получается сложная функция, производная от которой равна . Так как производная от обратной функции связана с производной исходной функции равенством , то формула для производной от параметрически заданной функции принимает вид: . Пример. Найти производную функции . Вычислим производные от заданных функций по параметру : . Следовательно, . Опр. Если функция задается в виде соотношения , из которого нельзя явно выразить переменную через или наоборот, то говорят, что функция задана в неявном виде. Дифференцирование таких функций осуществляется с учетом того, что переменная является сложной функцией, т.е. зависит от переменной . Пример Найти производную функции . Продифференцируем данное соотношение с учетом вышеизложенного материала получим . Отсюда находим, что . С учетом исходного равенства полученное выражение определяет производную от неявно заданной функции. Опр. Производная от первой производной функции называется второй производной функции, т.е. . Аналогично вводятся дифференциалы и производные высших порядков: и так далее. Отметим, что обозначение производной, начиная с четвертой, берется в скобки. Производные высших порядков могут быть записаны в виде и т. д.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (960)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |