Задача минимизации массы при ограничении прочности

Рассмотрим простейшую однокритериальную задачу параметрической оптимизации конструкции по массе.

Рисунок 2.1 – Конструктивно-силовая схема трехстержневой фермы

Требуется найти площади поперечных сечений стержней b₁, b₂ и b₃ так, чтобы конструкция имела минимальную массу. Дополнительным требованием является способность конструкции нести статическую нагрузку заданного вида и величины.

Деформирование трехстержневой фермы описывается системой двух линейных уравнений относительно перемещений нагруженного узла. В матричном виде эта система имеет вид:

, (2.1)

где K – матрица жесткости,

- столбец перемещений,

– столбец нагрузок.

Матрица жесткости зависит от конструктивных параметров. Для каждого из трех стержней матрица жесткости имеет вид:

, (2.2)

где E – модуль упругости,

l_i – длина i-го стержня,

b_i – площадь сечения i-го стержня,

_i – угол между осью i-го стержня и горизонтальной осью x.

Напряжения в каждом стержне могут быть выражены через перемещения, определяемые решением системы (2.1):

. (2.3)

Таким образом, получили ограничения:

. (2.4)

Целевой функцией является масса конструкции:

. (2.5)

Окончательно, получили следующую задачу математического программирования: найти минимум целевой функции (2.5) при ограничениях (2.4).

Приведем решение этой задачи при следующих числовых значениях известных параметров. Пусть модуль упругости и плотность всех стержней одинаковы, длины стержней (в метрах) равны , углы с осью x равны , сила величины 10 кН приложена горизонтально вправо, предел прочности материала МПа. Тогда получаем: необходимо найти минимум целевой функции

при ограничениях:

, , , , , ,

где

,

.

Решение этой задачи можно найти на компьютере, используя существующее программное обеспечение. Приведем пример использования для этой цели пакета программ MathCAD.

Рисунок 2.2 – Фрагмент программы оптимизации

На рисунке 2.2 показан фрагмент программы на входном языке пакета MathCAD. Вначале задается начальное приближение (все площади сечений принимаются равными 0,01 м). Затем записан решающий блок, в котором выписаны ограничения и условие равенства нулю целевой функции (на самом деле отыскивается значение, ближайшее к нулю в пределах ограничений, т.е. минимальное). Далее вызывается функция Minerr для определения оптимальных площадей сечений. В последней строке кода программы выводятся найденные площади, напряжения в стержнях и полученная масса конструкции (значение целевой функции). Как видно, в этом примере наилучшей по массе оказалась двухстержневая ферма (вертикальный стержень должен иметь нулевую площадь сечения).