ТЕОРИИ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА
Понятие о натуральном числе и числе ноль в количественной теории. Сложение и вычитание целых неотрицательных чисел. Умножение и деление целых неотрицательных чисел. Деление с остатком. Аксиоматическая теория натурального числа. Аксиомы Пеано. Метод математической индукции. Аксиоматическое определение сложения и умножения целых неотрицательных чисел. Литература: [1] с. 247-270, [2] с. 132-135, [3] с. 88-129, [4] с. 53-63, [5] с. 120-135, [6] с.90-102, [7] с. 95-134.
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ И АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА (задания 1 уровня)
1A. Среди приведенных ниже множеств выберите те, с помощью которых можно дать теоретико-множественное определение числа 5: а) множество пальцев на руке человека; б) множество нечетных цифр; в) множество сторон параллелограмма; г) множество лепестков у розоцветных.
1Б. Какие из высказываний истинны: а) сумма любых двух целых неотрицательных чисел существует; б) существует разность любых двух целых неотрицательных чисел; в) неверно, что существует разность любых двух целых неотрицательных чисел.
2А. Среди приведенных ниже множеств выберите те, которые можно использовать для теоретико-множественного определения числа 3: а) множество зимних месяцев; б) множество сигналов светофора; в) множество дней недели; г) множество стадий развития бабочки-капустницы.
2Б. Даны пары множеств А и В. Какие из них удовлетворяют определению сложения целых неотрицательных чисел: а) А={a, b, c, d}, B={d, e, f, g}. б) А={1, 3, 5, 7, 9}, В={2, 4, 6, 8}. в) А={с, т, о, л}, В=∅. 3А. Среди приведенных ниже множеств выберите те, которые можно использовать для теоретико-множественного определения числа 1: а) множество нулей в записи числа сто; б) множество объективов фотоаппарата; в) множество вершин угла; г) множество дней недели.
3Б. Даны пары множеств А и В. Какие из них удовлетворяют определению сложения целых неотрицательных чисел: а) А={к, л, м, н, о}, В={л, н, о}. б) А={х| хÎN, х£10} В={х| хÎN, х<1}. в) А={Δ, Ú, Ù,⊂}, В={1,2}.
4А. Среди приведенных ниже множеств выберите те, которые можно использовать для теоретико-множественного определения числа 7: а) множество ребер треугольной пирамиды; б) множество дней недели; в) множество цветов радуги; г) множество четных натуральных чисел до 10.
4Б. Даны пары множеств А и В. Какие из них удовлетворяют определению разности целых неотрицательных чисел: а) А={к, л, м, н, о}, В={л, н, о}. б) А={1,2}, В={х| хÎN, х£ 4}. в) А={Î, Ï, È, Ç}, В={Þ, Ú, Ù}.
5А. Среди приведенных ниже множеств выберите те, которые можно использовать для теоретико-множественного определения числа 2: а) множество медиан треугольника; б) множество концов отрезка; в) множество сторон угла; г) множество прямых углов в треугольнике.
5Б. Какие из высказываний истинны: а) для любых множеств А и В n(В¢А)=n(А)–n(В). б) существуют множества А и В, для которых n(В¢А)=n(А)–n(В). в) существуют множества А и В, для которых n(А¢В)=n(В)–n(А).
0А. Среди приведенных ниже множеств выберите те, которые можно использовать для теоретико-множественного определения числа 4: а) множество звуков октавы; б) множество диагоналей ромба; в) множество конечностей у млекопитающих; г) множество делителей числа 6. Решение: Т. к. число 4 – это количество элементов в равномощных множествах, которые состоят из 4 элементов, то ответ а – не подходит, т.к множество звуков октавы состоит из 8 элементов; б – не подходит, т.к.множество диагоналей ромба состоит из 2 элементов; в – подходит, т.к. число конечностей у млекопитающих – 4; г – подходит, т.к. множество делителей числа 6 состоит из 4 элементов {1; 2; 3; 6}.
0Б. Какие из высказываний истинны: а) для любых множеств А и В n(А)+n(В)=n(АÈВ). б) для любых множеств А и В n(А)+n(В)³n(АÈВ). в) существуют множества А и В, такие что n(А)+n(В)=n(АÈВ). Решение: а) Данное высказывание ложно, т.к. если АÇВ≠Ø, то n(А)+n(В)≠n(АÈВ); б) данное высказывание истинно, т.к. если АÇВ=Ø, то n(А)+n(В)=n(АÈВ), а если АÇВ≠Ø, то n(А)+n(В)>n(АÈВ); в) данное высказывание истинно (см. пункт б).
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ И АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА (задания II уровня)
1А. Даны множества А={+, ´, :, –}, В={Ù, Ú, Þ}. Найдите АÈВ. Найдите число элементов объединения множеств А и В двумя способами. Найдите: а) n (А), б) n (В), в) n (А) + n (В).
1Б. Опираясь на количественную теорию, объясните, почему 1 + 3 = 4.
2А. Даны множества А={>, Ù, Ú, Þ, Û} и В={Ù, Ú}. Найдите: а) В¢А, б) n(В¢А), в) n (А) и n (В). Верно ли, что n (В¢А) = n (А) – n (В).
2Б. Пользуясь определением суммы целых неотрицательных чисел, объясните, почему 5 + 0 = 5.
3А. Пусть А – множество месяцев в году. Назовите еще три множества, равномощных множеству А. Какое натуральное число является общим свойством класса множеств, равномощных А.
3Б. С помощью количественной теории дайте обоснование того, что 7 – 4 = 3.
4А. Приведите примеры множеств, равномощных: а) множеству пальцев на руке человека; б) множеству медиан треугольника; в) множеству отрицательных чисел на промежутке [3;5].
4Б. С помощью количественной теории дайте обоснование того, что 5 – 2 = 3.
5А. Какие из высказываний истинны: а) для любых целых неотрицательных чисел а и в число ав есть целое неотрицательное; б) существуют целые неотрицательные числа а и в, произведение которых равно 0; в) произведение любых двух натуральных чисел больше каждого из них.
5Б. Пользуясь определением разности целых неотрицательных чисел, объясните, почему: 7 – 7 = 0.
0А. Приведите примеры множеств, равномощных: а) множеству звуков в слове «Брест»; б) множеству цветов белорусского флага; в) множеству делителей числа 1. Решение: а) Множество звуков в слове «Брест» состоит из 5 элементов {б, р, е, с, т}, значит, ему равномощными будут множество пальце на одной руке; множество букв в имени «Света»; множество цифр числа 12345; множество лучей у звезды. б) Множество цветов белорусского флага состоит из 3 элементов{красный, зеленый, белый}. Значит, ему равномощными будут: множество углов в треугольнике; множество согласных звуков в слове «молоко»; множество цифр числа 538. в) Множество делителей числа 1 содержит 1 элемент, значит ему равномощными будут: множество голов у одного человека; множество гласных звуков в слове «дом»; множество цифр числа 5.
0Б. Опираясь на количественную теорию, объясните, почему 4 + 2 = 6. Решение: Возьмем 2 множества. А={а, в, с, d}, n(А)=4 и В={n, m}, n(В)=2, причем АÇВ=Ø. Найдем объединение этих множеств: АÈВ={а, в, с, d, n, m}, n (АÈВ)=6. n (АÈВ)= n(А)+n(В). 6=4+2. Значит, 4+2=6.
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ И АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА (задания III уровня)
1А. Объясните, опираясь на количественную теорию, почему: а) 0<2; б) 17³7.
1Б. Укажите условия, при которых следующие равенства истинны: а) (а + в) : с = а : с + в : с, б) (а в с d) : m = (а : m)・в с d.
2А. Используя теоретико-множественное определение частного, покажите двумя способами, что 6 : 3 = 2.
2Б. Укажите условия, при которых следующие равенства истинны: а) (а – в) : с = а : с – в : с, б) а : (в с) = (а : в) : с.
3А. Объясните, опираясь на количественную теорию, почему: а)5>7; б) 1<3.
3Б. Укажите условия, при которых следующие равенства истинны: а) (а + в) – с = (а・с) + в, б) а – (в + с) = (а – в) – с, если а, в, с ÎNo.
4А. Докажите, опираясь на различные определения произведения целых неотрицательных чисел, что 2・3 = 6.
4Б. Укажите условия, при которых следующие равенства истинны: а) (а + в) – с = а + (в – с), б) (а – в) – с = (а – с) – в, если а, в, с ÎNo.
5А. Используя теоретико-множественное определение частного, покажите двумя способами, что 10 : 5 = 2.
5Б. Укажите условия, при которых следующие равенства истинны: а) а – (в – с) = (а + с) – в, б) а – (в – с) = (а – в) + с, если а, в, с ÎNo.
0А. Докажите двумя способами, что 4・3 = 12. Решение: 1способ: по определению, произведением числа а на число в называют число, которое удовлетворяет требованиям: 1) а · в = а+а+а+…+а 2) а · 1=а 3) а · 0=0 в раз Значит, 4·3 = 4+4+4 = 12. 3 раза 2 способ: Воспользуемся определением умножения через декартово произведение. По определению, произведением целых неотрицательных чисел а и в называют число элементов в декартовом произведении А×В, где а = n(А), в = n(В), и а · в = n(А) · n(В)= =n(А×В). Возьмем множества А и В такие, что n(А) = 4; n(В) = 3. Пусть А={а; в; с; d}, В ={х; у; z}. А×В = {(а; х),(а; у),(а; z),(в; х),(в; у),(в; z),(с; х),(с; у),(с; z), (d; х),( d; у), ( d; z)}. n(А×В) = 12; n(А×В) = n(А) · n(В); 4 · 3 = 12.
0Б. Существуют ли такие целые неотрицательные числа а, в, с, d, что верны равенства: а) (а + в) + с + d = а + (в + с) + d, б) (а + в) + (с + d) = (а + d) + (в + с). Решение: а) это равенство верно для любых целых неотрицательных чисел, т.к. сумма на множестве целых неотрицательных чисел обладает свойством ассоциативности; б) для суммы целых неотрицательных чисел справедливы коммутативный и ассоциативный законы, поэтому записанное равенство верно для любых целых неотрицательных чисел.
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ И АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА (задания IV уровня)
1. Пользуясь количественной теорией натурального числа, докажите, что 3・4 = 4・3 2. Пользуясь количественной теорией натурального числа, докажите, что 3・(1+2) = 3・1 + 3・2 3. Пользуясь количественной теорией натурального числа, докажите, что 5 + 1 = 1 + 5 4. Пользуясь количественной теорией натурального числа, докажите, что (2 + 3) + 4 = 2 + (3 +4) 5. Пользуясь количественной теорией натурального числа, докажите, что (2・3)・4 = 2・(3・4)
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ И АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА (задания V уровня)
1. Докажите с помощью метода математической индукции, что 12 + 22 + 32 +…+ n2 =
2. Докажите с помощью метода математической индукции, что –1 + 3 – 5 + 7 – 9 +…+ (–1)n・(2n – 1) = ( –1)n・n
3. Докажите с помощью метода математической индукции, что 12 – 22 + 32 – 42 +…+ (–1)n–1・n2 = (–1)n–1
4. Докажите с помощью метода математической индукции, что + +…+ =
5. Докажите с помощью метода математической индукции, что
+ +…+ =
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1555)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |