Плоскорадиальный поток (приток к скважине)

Рисунок 2.3 – Схема притока к скважине

Пусть в горизонтальном пласте постоянной толщины h и проницаемости k происходит фильтрация несжимаемой жидкости с вязкостью m к совершенной скважине радиусом r_c, на которой поддерживается давление р_с. На расстоянии R_k от скважины находится круговой контур питания, на котором поддерживается давление р_k. (рисунок 2.3). Направим ось координат 0r от скважины. Для полного исследования такого потока, как было выяснено ранее, достаточно изучить движение жидкости вдоль оси 0r. Площадь поперечного сечения на радиусе r представляет боковую поверхность цилиндра и равна ω = 2 π r h.

Математическая постановка задачи описывается следующими уравнениями.

Уравнение неразрывности потока, которое при фильтрации несжимаемой жидкости удобно записать в интегральной форме:

(2.17)

Законом фильтрации – законом Дарси, так как фильтрация происходит против направления оси 0r, то скорости фильтрации, а соответственно и расходы будут отрицательными, поэтому в законе Дарси опустим знак минус:

(2.18)

А также граничными условиями:

(2.19)

Требуется найти распределение давления по пласту и дебит скважины.

Для решения полученной задачи подставим закон Дарси в уравнение неразрывности, тогда получим дифференциальное уравнение первого порядка, которое легко интегрируется:

(2.20)

Из граничного условия на контуре питания получим:

(2.21)

Для исключения постоянной интегрирования ‘c’ вычтем из уравнения (2.21) уравнение (2.20), при этом воспользуемся свойством логарифмов ln(R_k) ‑ ln(r) = ln(R_k/r):

(2.22)

Тогда распределение давления по пласту запишется в виде:

(2.23)

Откуда видно, что давление в пласте при плоскопараллельной фильтрации меняется по логарифмическому закону. Используя второе граничное условие, найдем дебит скважины:

.

(2.24)

Формулой для распределения давления (2.23) удобно пользоваться, если известно давление на контуре и дебит скважины. Если известны давления на контуре и на скважине, тогда удобнее из формулы (2.24) исключить расход:

.

(2.25)

При известных значениях давления на скважине и дебите получим:

(2.26)

Скорость фильтрации можно найти или по закону Дарси, или используя уравнение неразрывности потока:

(2.27)

Из последнего выражения видно, что скорость фильтрации уменьшается обратно пропорционально расстоянию от скважины.

Рисунок 2.4 – Распределение давления a) и отношение скорости фильтрации в пласте к скорости фильтрации на скважине б) для нефтяной скважины

Найдем время вытеснения нефти водой при постоянном расходе галереи от контура питания до расстояния r. Считая вытеснение поршневым, получим, что за время t скважина добудет объем нефти Q t. Из пласта будет отобран объем нефти, которая находилась в порах пласта p (R_k² – r²) h m. Так как эти объемы одинаковы, то:

(2.28)

Полное время вытеснения нефти при поршневом вытеснении получим, если в последнюю формулу подставим r = r_c.