Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядканазывается уравнение, связывающее неизвестную функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. уравнение вида: Если это уравнение преобразовать к виду , то полученное дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением, разрешенным относительно производной. Преобразуем это выражение далее: Функцию представим в виде: Тогда при подстановке в полученное выше уравнение получим: . Левая часть этого выражения называется дифференциальной формойуравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде: или в виде: Перейдем к новым обозначениям Получим:
После нахождения соответствующих интегралов получаем общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, и соответственно частное решение. Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: . Имеем ; ; . Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям: ; ; . Получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения. Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х. ; - верно. Пример. Найти решение дифференциального уравнения при условии . Имеем ; ; ; ; . При получаем Таким образом: или - частное решение. Проверка: . Следовательно, - что верно. Пример. Решить уравнение Имеем ; ; ; . Получаем: - общий интеграл и - общее решение. Пример. Решить уравнение Имеем
Пример. Решить уравнение при условии . Имеем ; Интеграл, стоящий в левой части берётся по частям: . Если , то Итого, частный интеграл: . Пример. Решить уравнение . Имеем ; ; ; ; Получаем общий интеграл: . Пример. Решить уравнение . Преобразуем заданное уравнение: ; ; ; . Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение. Пример. Решить уравнение . Имеем ; ; ; ; Допустим, заданы некоторые начальные условия и . Тогда: Получаем частное решение
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (563)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |