Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

Метод Бернулли. Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций . При этом, очевидно, что . Подставляя полученное выражение в исходное уравнение, находим:

; .

Так как первоначальная функция была представлена в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть выбран произвольно.

Например, функция может быть представлена в виде: и т.п.

Таким образом, одну из составляющих произведение функций можно выбрать так, что выполнялось равенство .

Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю:

Интегрируя, находим функцию v:

; .

Таким образом, получаем вторую составляющую произведения , которое и определяет искомую функцию.

Подставляя полученные значения, находим:

Окончательно получаем формулу:

, - произвольная постоянная.

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.

Метод Лагранжа. Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

Первый шаг данного метода состоит в замене нулем правой части исходного уравнения:

.

Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:

.

Для того чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную некоторой функцией от х.

По правилам дифференцирования произведения функций находим:

Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение:

;

Из этого уравнения определим переменную функцию :

Интегрируя, получаем:

Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:

.

Таким образом, получаем результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли.

При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.

Рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты.

Пример. Решить уравнение

Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду:

Применим полученную выше формулу: Находим:

; ;

Уравнение Бернулли

Определение. Уравнением Бернуллиназывается уравнение вида

где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.

Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.

Исходное уравнение делят на :

Используем подстановку, учитывая, что . Находим

; .

Получаем линейное уравнение относительно неизвестной функции z.

Решение этого уравнения будем искать в виде:

, где

Пример. Решить уравнение

Разделим уравнение на :

Полагаем Находим:

.

Полагая будем иметь:

.

Произведя обратную подстановку, получаем:

Пример. Решить уравнение

Разделим обе части уравнения на

Полагаем Находим:

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

Интегрируя обе части, получаем:

Полагая , подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, учитывая, что

Находим:

Получаем: Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ: