Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Для интегрирования линейных неоднородных уравнений применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа. Метод Бернулли. Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций . При этом, очевидно, что . Подставляя полученное выражение в исходное уравнение, находим: ; . Так как первоначальная функция была представлена в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть выбран произвольно. Например, функция может быть представлена в виде: и т.п. Таким образом, одну из составляющих произведение функций можно выбрать так, что выполнялось равенство . Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме: Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю: Интегрируя, находим функцию v: ; . Таким образом, получаем вторую составляющую произведения , которое и определяет искомую функцию. Подставляя полученные значения, находим: Окончательно получаем формулу: , - произвольная постоянная. Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли. Метод Лагранжа. Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной. Рассмотрим дифференциальное уравнение: Первый шаг данного метода состоит в замене нулем правой части исходного уравнения: . Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения: . Для того чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную некоторой функцией от х. По правилам дифференцирования произведения функций находим: Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение: ; Из этого уравнения определим переменную функцию : Интегрируя, получаем: Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем: . Таким образом, получаем результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли. При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл. Рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты. Пример. Решить уравнение Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду: Применим полученную выше формулу: Находим: ; ;
Уравнение Бернулли
Определение. Уравнением Бернуллиназывается уравнение вида где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1. Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному. Исходное уравнение делят на : Используем подстановку, учитывая, что . Находим ; . Получаем линейное уравнение относительно неизвестной функции z. Решение этого уравнения будем искать в виде: , где Пример. Решить уравнение Разделим уравнение на : Полагаем Находим: . Полагая будем иметь: . Произведя обратную подстановку, получаем: Пример. Решить уравнение Разделим обе части уравнения на Полагаем Находим: Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение: Интегрируя обе части, получаем: Полагая , подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, учитывая, что Находим:
Получаем: Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (517)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |