A) Физический смысл стационарной задачи
Уравнение вида: или - называется уравнением Лапласа. Оно описывает стационарный процесс с установившимся распределением температуры сплошной среды. Описывает любые установившиеся процессы. При наличии источников тепла получаем уравнение: - неоднородное уравнение Лапласа – уравнение Пуассона. B) Примеры Уравнение теплопроводности: - описывает распределение температуры в сплошной среде. Если это распределение не зависит от времени, то уравнение теплопроводности примет вид: . Аналогично для колебаний. C) Понятие о потенциалах
D) Постановка задач Постановка задачи (можно поставить задачу для разного числа переменных) состоит из составления уравнения и определения области изменения переменных. Начальных условий здесь не будет, т.к. задача стационарная, а граничные условия не будут зависеть от времени: Пишем уравнение: Задаём область: пусть некоторая область D ограничена контуром Г, p – внутренние точки области D: . Задаём краевые условия: (линейное краевое условие). Первая краевая задача: - температура на границе Вторая краевая задача: - поток тепла через границу Третья краевая задача: 2. Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия. Пусть функции u,v дважды непрерывно дифференцируемы. Введём скалярное произведение: . Формулы Грина: 1. Применим к u оператор L и перемножим скалярно с v: . Выведем эту формулу. Распишем скалярное произведение: . Рассмотрим отдельно первое слагаемое: . Для того чтобы воспользоваться формулой Гаусса - Остроградского преобразуем это выражение следующим образом - внесём под знак дивергенции так: , тогда теперь применим формулу Гаусса - Остроградского . Тогда наше скалярное произведение перепишется следующим образом: - первая формула Грина. 2. . – вторая формула Грина. Теорема о единственности краевых задач:
Доказательство: Воспользуемся первой формулой Грина: , где , , Рассмотрим все три типа краевых задач: Первая краевая задача: + = 0 – т.е. сумма 2-х положительных величин, она равняется нулю тогда, когда =0 , и в силу получаем, что , ч.т.д. Третья краевая задача: из условия теоремы следует, что т.е. получаем сумму 3-х положительных величин, она равняется нулю тогда, когда . Вторая краевая задача: Рассмотрим два случая:
Физический смысл соотношений, получаемых с помощью формул Грина. Рассмотрим задачу и , u – решение , И пусть =1: Используя 1-ую формулу Грина получаем ( , =1) т.е. если решение рассмотренной задачи существует, то для f и g выполняется условие , и решение не существует, если оно не выполняется. Это соотношение имеет физический смысл Тепло, выделяющееся источником внутри области, равно теплу, выходящему из области через границу в единицу времени.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (582)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |