C) асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя
Функции Бесселя (любые решения уравнения Бесселя) имеют особенность в нуле. Решение уравнения Бесселя при имеет следующий вид: . Докажем это. Для этого сделаем замену: , подставим , первые производные ушли, осталось: . Таким образом: , будем искать в виде: . Надо найти две функции: и . положим , получим . Тогда , подставим в уравнение: , т.о. получили систему: . Получили систему, разрешённую относительно производных, но не нелинейную. Оценим. Проинтегрируем и запишем для первого и второго уравнений: . При больших значениях , и имеют вид констант. Получим вид : и : . Тогда - общая формула для любой цилиндрической функции. Асимптотики функций Бесселя и Неймана:
d) краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д. Рассмотрим краевую задачу на собственные значения. на отрезке , или: , отличается от уравнения Бесселя наличием параметра . Первое решение: - тождественный ноль, а задача Штурма-Лиувилля – это задача на собственные функции и собственные значения - заключается в нахождении таких значений , при которых существует нетривиальное решение. Сделаем замену: , ( ) , его общее решение , константы находим из начального условия. Из ограниченности находим, что , из второго условия находим что: - это уравнение для определения . У бесконечно много нулей: и , тогда можно написать, что . Тогда собственные значения - их бесконечно много, и соответственно собственные функции . Все собственные значения действительны и положительны. Это следует из самосопряженности оператора . Убедимся в его самосопряженности. Напишем формулу Грина , - т.е. оператор самосопряжённый. Это значит, что все собственные значения действительны и положительны, т.к. и . Все собственные функции, отвечающие разным собственным значениям ортогональны с весом : Теорема Фурье-Бесселя (о полноте) Любая функция , которая на отрезке допускает дифференцирование и удовлетворяет граничным условиям: , разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по функциям Бесселя: . Коэффициенты находятся интегрированием, т.к. это разложение по ортогональному базису. . В задаче на собственные функции и собственные значения всё будет аналогично, если вместо краевого условие первого рода мы возьмём , тогда - будут корнями уравнения: . e) модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции . Рассмотрим уравнение: , оно отличается знаком перед . Сделаем замену , тогда подставим и получим уравнение: , получили уравнение Бесселя. Его ограниченное решение: - модифицированная функция Бесселя. В качестве С возьмем , тогда . Он отличается знакопостоянством. Рассмотрим его асимптотику: . Модифицированная функция заведомо не имеет нулей (только на мнимой оси), т.к. все слагаемые положительные. Напишем базис. Первая базисная функция - , вторая базисная функция - - функция Макдональда. - действительна для действительных . Её асимптотика , тогда общее решение можно записать так: . Из линейной независимости и следует, что в точке имеет полюс -го порядка. f) Сводная таблица.
12. Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора . Рассмотрим уравнение: (*) и пусть - имеет два ноля.
Полученные функции, отвечающие различным собственным значениям, будут ортогональны, то есть оператор должен быть самосопряжённым. Самосопряженность оператора Используя 2-ую формулу Грина получаем:
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1473)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |