Элементы функциональной полноты в классе двоичных функций

Основные двоичные функции и их своства.

Булевой функцией f(x₁ … x_n) называют функцию, аргументы которой принимают значения из множества , и значение функции также из множества {0;1}.

 

1.Табличные способы задания булевых функций :

 

x1	…	xn	F(x1…xn)
	…		*
	…		*
…	…	…	…
	…		*

 

В начале выписываются двоичные наборы из n нулей и единиц. Это удобно делать в двоичной системе счисления – то есть начиная с нуля прибавлять единицу в двоичной системе счисления. На каждом наборе надо задать значение функции.

Пример табличного задания функции:

x1	x2	x3	f(x1 x1 x3)

 

2.Основные булевые функции и их таблицы.

 

0 – константа ноль ;

 

1 – константа один ;

 

x - тождественная ;

- отрицание ;

- конъюнкция (логическое умножение) ;

- дизъюнкция (логическое сложение) ;

+ - модульная сумма ;

~ - эквивалентность (отрицание модульной суммы) ;

- следствие .

 

x1	x2			x1		x1 x2	x1 x2	x1+ x2	x1 ~ x2	x1 x2

 

3.Свойства булевых функций :

 

Определения.

Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;

бинарная операция коммутативна, если тождественно выполняется: ;

бинарная операция дистрибутивна по отношению к бинарной операции , если тождественно выполняется:

;

 

Утверждение 1. , конъюнкция ассоциативна.

x1	x2	x3	x2 x3	x1 (x2 x3)	x1 x2	(x1 x2) x3
				1		1

 

Утверждение 2. ,

дизъюнкция ассоциативна.

 

x1	x2	x3	x2 x3	x1 (x2 x3)	x1 x2	(x1 x2 ) x3
				1		1

 

 

Утверждение 3. , конъюнкция

коммутативна; , дизъюнкция также

коммутативна;

 

x1	x2	x1 x2	x2 x1
		1	1

 

Предложение 1. Результат выполнения ассоциативной операции не зависит от расположения скобок в скобочном выражении.

Например: Если ассоциативная операция, тогда

.

Доказательство предлагается в качестве домашнего упражнения.

Примечание: использовать индукцию по числу скобок в выражении.

Из того, что конъюнкции и дизъюнкции ассоциативные операции, результат конъюнкции или дизъюнкции нескольких переменных не зависит от расположения скобок.

Например:

Тогда в силу независимости значения выражений конъюнкций от расположения скобок корректно определение как значение логического произведения при каком-либо порядке расположения скобок. Точно также для дизъюнкции .

 

 

Предложение 2. Конъюнкция равна 0, т. и т.т., когда хотя бы один из множителей равен 0.

Дизъюнкция равна 1, т. и т.т., когда хотя бы одно из слагаемых равно 1.

Доказательство предлагается в качестве домашнего упражнения.

Утверждение 4.

, конъюнкция дистрибутивна по отношению к дизъюнкции.

 

x1	x2	x3	x2 x3	x1 (x2 x3)	x1 x2	x1 x3	(x1 x2 ) (x1 x3 )
				1			1

 

Утверждение 5.

, дизъюнкция дистрибутивна по отношению к конъюнкции.

 

x1	x2	x3	x2 x3	x1 (x2 x3)	x1 x2	x1 x3	(x1 x2) (x1 x3)
				1			1

 

Утверждение 6. , следствие не ассоциативная операция.

x1	x2	x3	x2 x3	x1 (x2 x3)	x1 x2	(x1 x2) x3
0
				1		1

 

 

Утверждение 7.

 

x1	x2	x3	x2 x3	x1 (x2 x3)	x1+x2	x1+x3	(x1+x2) (x1+x3)
				0			0

Утверждение 8.

,

конъюнкция дистрибутивна по отношению к сумме по модулю два.

 

x1	x2	x3	x2+x3	x1 (x2+x3)	x1 x2	x1 x3	(x1 x2)+(x1 x3)
							1
				0			0

Определение.Две функции назовем одинаковыми, если они зависят от одного и того же набора переменных и их значения совпадают на каждом из наборов своих переменных.

Определение

Переменная x булевой функции f(x…) называется существенной, если существует набор значений остальных переменных функции, что изменение значения переменной при данном наборе остальных переменных изменяет значение функции.

Пример: x₁ и x₂ - существенные переменные (x_{1 по 8 –му и по 5-му наборам;} x₂

_{по 6 и 8 наборам).}

x₃ - не существенная переменная

x1	x2	x3	f
1

Определение

Две функции равны, если они одинаковы после отбрасывания несущественных переменных.