Пространства со скалярным произведением

Введем еще одну дополнительную геометрическую характеристику (операцию) в пространстве сигналов в виде отображения упорядоченной пары векторов на поле скаляров из F. Эту операцию называют скалярным(внутренним) произведениемвекторов и записывают в виде , т.е.

.

Скалярное произведение должно удовлетворять следующей системе аксиом (над полем комплексных чисел):

1) эрмитова симметрия,

2) дистрибутивность,

3) ассоциативность,

4) , если .

Из этих аксиом следует, что

.

Если , то векторы и ортогональны .

Если (δ_ij – символ Кронекера: δ_ij = 1 при i = j и δ_ij = 0 при i ≠ j), то система векторов ортонормированная. Легко показать, что система ортонормированных векторов – линейно независимая.

В линейном пространстве со скалярным произведением целесообразно норму и метрику определять через скалярное произведение

, .

Весьма важное значение имеет соотношение, называемое неравенством Коши-Буняковского-Шварца

.

На основе скалярного произведения можно ввести понятие угла j между двумя векторами, исходя из соотношения

.

В ТЭС наибольший практический интерес представляют следующие линейные нормированные метрические пространства:

1. R_n– n-мерное вещественное евклидово пространство, в котором каждый вектор определяется совокупностью n его координат . Скалярное произведение векторов в этом пространстве

.

Оно порождает норму и расстояние

,

.

2. L₂(T) –бесконечномерные пространства (Гильберта), которое образуют непрерывные комплексные или вещественные x(t) функции, заданные на интервале (0, Т).

Скалярное произведение векторов в этом пространстве

.

Квадрат нормы

имеет ясный физический смысл энергии Е_х сигнала, если под x(t) иметь в виду напряжение (или ток) на сопротивлении 1 Ом. Квадрат расстояния между вещественными сигналами x(t) и y(t) определяется соотношением

и имеет смысл энергии разностного сигнала.

3. L₂(∞) – бесконечномерные пространства (Гильберта), которое образуют непрерывные комплексные или вещественные x(t) функции, заданные на интервале (–Т/2, Т/2) при . Если для вещественных функций условие

не выполняется, но выполняется условие ограничения мощности

,

то можно ввести скалярное произведение векторов в этом пространстве с размерностью мощности

и норму .

4. 2_n – n-мерное пространство Хэмминга, которые образуют двоичные n-последовательности (кодовые комбинации из 0 и 1), широко используемые в системах ПДС. Норму и метрику в этом пространстве задают в виде

, ,

где знак Å обозначает операцию сложения по модулю 2 (по правилам: 0 Å 0 = 0, 0 Å 1 = 1, 1 Å 0 = 1, 1 Å 1 = 0).

Таким образом, норма вектора в пространстве Хэмминга определяется общим количеством содержащихся в нем единиц, а расстояние между двоичными векторами – количеством позиций (разрядов) кодовых комбинаций, в которых они различаются.

Следует отметить, что вещественные пространства R_n (при n → ∞), L₂(T) и L₂(∞) изоморфны(эквивалентны). Это означает, что между их элементами (равно как суммами элементов, их произведениями на скаляры и скалярными произведениями) можно установить взаимно-однозначное соответствие. Изоморфны также соответствующие им комплексные пространства. Понятие изоморфизма имеет большое практическое значение, так как позволяет представить одну модель сигнала другой.