Основные правила дифференцирования
Правило 1. Производная постоянного числа равна нулю. Это простейшее правило – оно следует и из определения; и из физического смысла – если путь не изменяется, то скорость равна нулю. Правило 2. Производная суммы функций.
Кратко говорят: «производная суммы равна сумме производных». Правило 3. Производная произведения функций. Сначала заметим следующее: если , то Поэтому: Мы учли, что Итак, для запоминания короче: (u•v = , - «производная произведения равна производной первого сомножителя, умноженной на неизменный второй плюс наоборот - производная второго сомножителя, умноженная на неизменный первый». Следствие 1. Если , то постоянный множитель можно выносить на знак производной, Следствие 2. Поскольку в формуле сомножители равноправны, то она легко обобщается на случай любого числа сомножителей. Например, для четырёх сомножителей.
Правило 4.Производная дроби (частного двух функций). или короче для запоминания: Формула доказывается аналогично. Правило 5. Производная сложной функции. Это правило является важнейшим - умение его применять наряду с отличным знанием таблицы производных и обеспечивает технику дифференцирования. Определение. Пусть дана некоторая функция , где аргумент в свою очередь является функцией аргумента . По этой причине называется промежуточным аргументом. Тогда Функция называется сложной функцией аргумента - сначала вычислим , а затем уже . Получается, что сложная функция есть - «функция от функции». Например, - простая функция, а функция - сложная. Сложной функцией будет и т.д. Как видим, термин «сложная функция» не обязательно означает её громоздкость – это «функция от функции». Итак, пусть Предположим, что и – функции, производные которых мы знаем (например, функции из таблицы производных). Вопрос: как найти производную ? Пример 3. . Здесь мы по таблице производных знаем: Вопрос: как найти Формула производной сложной функции имеет простой вид: производная сложной функции равна произведению простых функций, её составляющих. Легко обобщить её на случай более громоздкой сложности: например, пусть , т.е. , тогда Пример 4. Найти производную функции Решение. Это сложная функция: Из таблицы: , - подставим и получаем: Конечно, каждый раз сложную функцию расчленять на простые - занятие обременительное. На практике делается следующим образом. Пример 5. Найти производную функции Решение. Смотрим на данную функцию и говорим: во-первых, это косинус аргумента (что собой представляет аргумент мы не записываем, а просто его видим: ). Вспоминаем таблицу производных: и записываем (помня чему равен промежуточный аргумент ): Но на этом моменте мы не останавливаемся – ведь производная . Мы только записали первый сомножитель и ещё нужно найти Поэтому, мы должны были написать . Далее требуется найти аналогично производную «укороченной» функции по тому же алгоритму. Поскольку алгоритм один и тот же, рассуждаем аналогично: перед нами функция (промежуточный аргумент теперь равен производная равна и так далее, пока не дойдём до окончательного, независимого, аргумента :
=
Или с подробными объяснениями:
Читатель видит, что если всё делать подробно, то приходится одно и то же переписывать несколько раз. Это не рационально. Поэтому все промежуточные выкладки, которые мы заключили в скобки, держим «в уме», результат записываем сразу весь без повторений: Нетрудно понять, что как бы громоздка ни была функция, её дифференцирование не представляет труда – ведь на каждом следующем применении формулы производной сложной функции, функция «укорачивается».
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1054)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |