Сложение гармонических колебаний

Задача 1.

Найти частоту результирующего колебания и частоту биений, если

исходные колебания имеют вид : х₁= Аcosw₁t x₂ = Acosw₂t.

Пример решения

При сложении двух гармонических колебаний близких часот воспользуемся тригонометрической формулой преобразования суммы косинусов в их произведение:

х₁+x₂ = Аcosw₁t + Acosw₂t = 2Аcos [(w₂ -w₁)t/2]cos[(w₂ + w₁)t/2].

Частота результирующего колебания определяется вторым сомножителем - (w₂ + w₁)/4p, а первый сомножитель определяет изменение амплитуды биений. Частота биений равна (w₂ - w₁)/4p.

Период биений найдем стандартным образом Т = 1/n = 4p/(w₂ - w₁).

Задача 2.

Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями х= Аsinwt и у= Bcoswt, где А, В – положительные постоянные. Определить уравнение траектории точки и нарисовать ее. Указать направление движения точки по этой траектории.

Пример решения

х= Аsinwt Найти уравнение траектории нужно путем

у= Bcoswt исключения времени из уравнений как параметра.

Для этого следует воспользоваться известными

у = f(x) тригонометрическими соотношениями. В данном

случае воспользуемся соотношением sin²a + cos²a = 1.

sinwt = x/A, coswt = y/B, тогда (х/А)² + (у/В)² = 1.

Это уравнение эллипса. у

Начало колебаний В

Соответствует t = 0.

При этом х = 0, у = В.

Это исходная точка -А 0 А х

колебаний. При t > 0

x > 0, y < B. Следовательно -В

при колебательном процессе точка перемещается по траектории направо по часовой стрелке.

Варианты

1.9. Два одинаково направленных гармонических колебания

одинакового периода с амплитудами А₁ = 4 см и А₂ = 8 см имеют

разность фаз 45^о. Определить амплитуду результирующего

колебания.

2.9. Амплитуда результирующего колебания, получаюшегося при

сложении двух одинаково направленных гармонических

колебаний одинаковой частоты, обладающих разностью фаз

60^о, равна 6 см. Определить амплитуду второго колебания,

если А₁ = 5 см.

3.9. Определить разность фаз двух одинаково направленных

гармонических колебаний одинаковых частоты и амплитуды,

если амплитуда их результирующего колебания равна

амплитудам складываемых колебаний.

4.9. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических

колебаний одинакового периода Т = 4 с и одинаковой

амплитуды А = 5 см составляет p/4. Написать уравнение

результирующего колебания, если начальная фаза одного из

них равна нулю.

5.9. Частоты колебаний двух одновременно звучащих камертонов

настроены соответственно на 560 и 560,5 Гц. Определить

период биений.

6.9. Складываются два гармонических колебания одного

направления, имеющие одинаковые амплитуды и одинаковые

начальные фазы, с периодами Т₁ = 2 с и Т₂ = 2,05 с.

Определить период результирующего колебания и период

биений.

7.9. Точка участвует одновременно в двух гармонических

колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных

направлениях и описываемых уравнениями х = 3coswt, см и

у = 4coswt, см. Определить уравнение траектории точки и

нарисовать ее.

8.9. Точка участвует одновременно в двух гармонических

колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных

направлениях и описываемых уравнениями х= 3cos2wt , см и

у= 4cos(2wt + p) , см. Определить уравнение траектории точки и

нарисовать ее.

9.9. Точка участвует одновременно в двух гармонических

колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных

направлениях и описываемых уравнениями х= coswt, см и

у= 2cos(wt/2), где w=p c^-1. Определить уравнение траектории

точки и нарисовать ее. Указать направление движения точки по

этой траектории.

10.9.Точка участвует одновременно в двух гармонических

колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных

направлениях и описываемых уравнениями х= Аsin(wt + p/2) и

у= Asinwt. Определить уравнение траектории точки и

нарисовать ее. Указать направление движения точки по этой

траектории.