Теплоемкость кресталическийрешетки.Фононный газ

РЕШЁТОЧНАЯ ТЕПЛОЁМКОСТЬ - теплоёмкость твёрдого тела, обусловленная атомной подсистемой, в частности кристаллич. решёткой. Р. т. является частью теплоёмкости твёрдого тела. Термин «Р. т.» может относиться не только к идеальным кристаллам, но и к кристаллам с дефектами решётки или примесями, к некристаллич. твёрдым телам (аморфным веществам, стёклам).

Различие между Р. т. при пост, давлении (Ср)ц при пост. объёме (Су) мало:8009-40.jpg . При Т - ОК это является следствием теоремы Нернста (см. Третье начало термодинамики), а при произвольных Т обусловлено малостью тепловой энергии (kT)относительно энергии связи атомов в твёрдом теле. Величина и температурная зависимость Р. т. С определяются энергетич. спектром8009-41.jpg колебании атомной подсистемы (см. Колебания кристаллической решётки:)

8009-42.jpg

Здесь S - энтропия, F - Гельмгольца энергия. Величина dS/дТ вычисляется при пост. давлении либо при пост, объёме, в зависимости от того, какая из величин Ср или СV подлежит определению.

Спектр колебаний атомной подсистемы зависит от её хим. состава и структуры и для реальных твёрдых тел сложен. Теория Р. т. основана на упрощающих предположениях о виде колебат. спектра. При высоких Т, когда возбуждены все 3N степеней свободы твёрдого тела, содержащего N атомов, из теоремы о равнораспределении энергии следует, что на каждую колебат. степень свободы приходится энергия kТ, и потому С = 3Nk. Этот результат соответствует эксперим. данным для простых кристаллич. решёток (элементы и простые соединения, см. Дюлонга и Пти закон ).Для сложных соединений предельное значение С = 3Nk с повышением Т обычно не достигается, т. к. раньше происходит их плавление или разложение.

При понижении темп-ры Р. т. убывает, благодаря «вымораживанию» колебаний с энергиями8009-43.jpg Простейшей моделью, описывающей этот процесс, является модель Эйнштейна, в к-рой всем степеням свободы твёрдого тела сопоставляются одномодовые гармонич. осцилляторы с частото

Теплоемкость кристаллической решетки практически совпадает с теплоемкостью фононного газа, а теплопроводность кристалла можно описать как теплопроводность фононного газа.

Так, ранние исследования Макса Борна по теории теплоемкости кристаллических решеток по существу расширяли экспериментальное обоснование квантовых представлений. На этой стадии Борн продолжил дело Эйнштейна, начатое его знаменитым анализом фотоэффекта. Позднее Макс Борн перешел к следующей стадии - разработке математического аппарата квантовой физики. В этом ему помогла тонкая физическая интуиция и огромная математическая эрудиция, приобретенная им в процессе общения с такими выдающимися геттинген-скими математиками, как Клейн, Минковский, Гильберт.

Следовательно, при достаточно низких температурах электронная теплоемкость должна превысить теплоемкость кристаллической решетки.

Фононы. Статистические свойства фононного газа

Если кристаллическое тело рассматривать как систему N связанных частиц, то смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещение других соседних с ним атомов. В результате этого в кристалле возникает упругая волна. Дойдя до границы кристалла, волна отражается. При наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна.

В соответствии с гипотезой Де Бройля с каждой бегущей монохроматической волной связаны энергия и импульс, определяемые соотношениями

, , (2)

введенными по аналогии с теорией фотонов. Волна, несущая энергию и импульс, определяемые формулами (2), в каком-то отношении ведет себя как частица. Частица, уподобляемая звуковой волне в вышеуказанном смысле, называется фононом.

Фонон во многих отношениях ведет себя так, как если бы он был частицей с энергией и импульсом (2). Однако в отличие от обычных частиц (электронов, протонов, фотонов) фонон не может возникнуть в вакууме – для своего возникновения и существования фонон нуждается в некоторой среде. Подобного рода частицы называются квазичастицами. Задача 2. На стеклянный клин падает нормально монохроматический свет (λ = 698 нм). Определить угол между поверхностями клина, если расстояние между соседними интерференционными минимумами в отраженном свете равно 2 мм.

Фононы хорошо приспособлены для описания слабых коллективных возбуждений атомов в кристалле. Между последовательными столкновениями фонон движется свободно, и если «длина свободного пробега» его достаточно велика по сравнению с постоянной кристаллической решетки, то возбужденное состояние кристалла можно в известном отношении рассматривать как фононный газ, подобно тому, как электромагнитное излучение можно представить как фотонный газ, заполняющий полость. Формально оба представления весьма схожи – и фотоны, и фононы подчиняются одной и той же статистике Бозе-Эйнштейна. Однако между фотонами и фононами имеется существенное различие: в то время как фотоны являются истинными частицами, фононы являются квазичастицами.

Фононный газ оказывается в стационарном состоянии с некоторым направленным движением фононов.

Фононный газ во многих отношениях подобен газу обычных частиц. Это сходство с обычным газом особенно велико при низких температурах, когда частота процессов переброса (9.25) исчезающе мала по сравнению с частотой нормальных столкновений фононов (9.23), и потому можно считать, что столкновения фононов подчиняются известным законам сохранения энергии и импульса. Но мы знаем, что в обычном газе легко возбуждаются и распространяются звуковые колебания, представляющие собой колебания плотности частиц газа. Поэтому появляется естественный вопрос, не могут ли в фононном газе возникнуть и распространяться коллективные возбуждения типа колебаний плотности фононов. Как мы сейчас увидим, на такой вопрос существует положительный ответ. Поскольку сами фононы появляются в результате квантования упругих ( звуковых) колебаний кристалла, то волны плотности фононов называют вторым звуком. Как фононный газ, так и ротонный газ должны подчиняться статистике Бозе.