Тема5.2. Понятие площади фигуры, длины отрезка, объема тела и их единиц измерения

План лекции:

1.Длина отрезка и его измерение.

2. Величина угла и ее измерение.

3.Понятие площади фигуры и ее измерении.

4.Площадь многоугольника и его измерение.

Геометрические величины - это свойства геометрических фигур, характеризующих их форму и размеры. К ним отно­сятся: длина, площадь, объем и величина угла. Это скалярные величины, так как они определяются своими численными значениями.

В геометрии прежде всего изучают то число, которое полу­чается в результате измерения величины, т.е. меру величины при выбранной единице величины. Поэтому часто это число называют длиной, площадью, объемом. Относительно этого числа решают различные теоретические задачи, в частности, каким требованиям оно должно удовлетворять как мера вели­чины, существует ли оно, каким образом его можно опреде­лить. Вообще правила измерения геометрических величин и их обоснование - важнейшая задача геометрии.

Вопросы, связанные с измерением геометрических величин, достаточно трудны, поэтому рассмотрим их в небольшом объеме, особо выделив те, которые, непосредственно связаны с изучением величин в начальной школе.

1..Длина отрезка

Понятие длины отрезка и ее измерения были уже исполь­зованы неоднократно, в частности когда рассматривали натуральное число как меру величины. В этом пункте мы только обобщим представления о длине отрезка как геомет­рической величине.

Условимся о следующем: будем считать, что численное значение длины отрезка, концы которого совпадают, равно нулю. Тогда о длине произвольного отрезка будем говорить, что она выражается целым неотрицательным числом. Кроме того, будем использовать введенное в п. 77 понятие «отрезок состоит из отрезков».

Определение. Длиной отрезка называется неотрицатель­ная величина, обладающая следующими свойствами:

1) равные отрезки имеют равные длины;

2) если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.

Эти свойства длины отрезка используются при ее измере­нии. Чтобы измерить длину отрезка, нужно иметь единицу длины, такой единицей является длина произвольного отрез-

ка. Результатом измерения длины отрезка х является неотри­цательное действительное число, обозначим его т(х). Это число называют численным значением длины отрезка х при выбранной единице длины или просто длиной.

Доказано, что такое число всегда существует" и единствен­но. Доказано также, что для каждого положительного дейст­вительного числа существует отрезок, длина которого выра­жается этим числом.

Из определения длинs отрезка следуют известные свойст­ва численных значений длин. Сформулируем некоторые из них, считая, что единица длины выбрана.

1. Если два отрезка равны, то численные значения их длин также равны, и обратно: если численные значения длин двух отрезков равны, то равны и сами отрезки.

х = у <=> т(х) = т(у)

2. Если отрезок х состоит из отрезков х, и х₂, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков х, и х₂. Справедливо и обратное утверждение.

х = х, © х₂ <=> т(х) = т(х,) + т(х₂)

3. При замене единицы длины численное значение длины увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

На практике для измерения длин отрезков используются различные инструменты, в частности линейка с нанесенными на ней единицами длины.

При решении практических задач используются стан­дартные единицы длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), метр (м), километр (км) и др.

2. Величина угла и ее измерение

Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в геометрии нет.

Определение. Величиной угла называется неотрицатель­ная величина, определенная для каждого угла так, что:

1) равные углы имеют равные величины;

2) если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.

Эти свойства лежат в основе измерения величины угла. Оно аналогично измерению длины отрезка и состоит в срав­нении измеряемой величины угла с величиной угла, принятой за единицу. Единичный угол, а если нужно и его доли, откла­дываются на угле, величина .которого измеряется. В результа­те получается численное значение величины угла или мера величины угла при данной единице измерения.

На практике за единицу измерения величины угла при­нимают градус - часть прямого угла. Один градус запи­сывают так: 1°. Величина прямого угла равна 90°, величина развернутого - 180°.

Градус делится на 60 минут, а минута на 60 секунд. Одну минуту обозначают 1^’, одну секунду - 1". Так, если мера вели­чины угла равна 5 градусам 3 минутам и 12 секундам, то пи­шут 5°3' 12". Если нужна большая точность в измерении вели­чин углов, используют и доли секунды.

Заметим, что часто вместо «величина угла» говорят «угол». Например, вместо «величина угла равна 45 градусам» гово­рят, что «угол равен 45 градусам».

На практике величины углов измеряют с помощью транс­портира. Для более точных измерений пользуются и другими приборами.

Для численных значений величины угла выполняются свой­ства, аналогичные свойствам численных значений длин отрезков.

1) Если два угла равны, то меры их величин также равны, и обратно: если меры величин углов равны, то равны и сами углы.

2) Больший угол имеет большую меру, и обратно: если ме­ра величины одного угла больше меры величины другого, то первый угол больше второго.

3) При сложении величин углов меры их складываются, а при вычитании - вычитаются.

3.Понятие площади фигуры и ее измерение

Каждый человек представляет, что такое площадь комнаты, площадь участка земли, площадь поверхности, которую надо покрасить. Он также понимает, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что площадь квартиры. Это обыденное представление о площади используется при ее определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому, когда говорят о площади, выделяют определенный класс фи­гур. Например, рассматривают площади многоугольных фи­гур или площади криволинейных фигур и т.д. Мы будем рас­сматривать понятие площади применительно к многоугольникам и ограниченным плоским фигурам.

Если говорят, что фигура F состоит (составлена) из фигур F, и F₂, то имеют в виду, что она является их объединением и у них нет общих внутренних точек. В этой же ситуации говорят, что фигура F разби­та на фигуры F₁ и F₂ и пишут F = F₁® F₂.

Например, о фигуре F, изображенной на рисунке 177, можно сказать, что она составлена из фигур F, и F₂ или, что она раз­бита на фигуры F, и F₂.

Определение. Площадью фигуры называется неотрица­тельная скалярная величина, определенная для каждой фигуры так, что:

1) равные фигуры имеют равные площади;

2) если фигура состоит из двух частей, то ее пло­щадь равна сумме площадей этих частей.

Эти свойства площади фигуры используются при ее изме­рении. Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь едини­цу площади. Как правило, такой единицей является площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку. Условим­ся площадь единичного квадрата обозначать буквой Е. Ре­зультатом измерения площади фигуры F будет неотрицатель­ное действительное число, обозначим его S(F). Это число называют численным значением площади фигуры F при вы­бранной единице площади Е.

В геометрии доказано, что для многоугольников и ограни­ченных плоских фигур такое число всегда существует и оно единственно.

Из определения площади следуют известные свойства чис­ленных значений площади. Сформулируем некоторые из них, считая, что единица площади выбрана.

1. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей, т.е. F,- F₂ => S(F,) = S(F₂).

Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

2. Если фигура F состоит из фигур F₁ и F₂, то численное значение площади фигуры равно сумме численных значений площадей фигур F₁ и F₂, т.е. S{F₁ ® F₂) = S(F₁) + S(F₂).

3. Численное значение площади единичного квадрата при­нимается равным 1, т.е. S(E) =1.

4. При замене единицы площади численное значение пло­щади фигуры F увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

5. Если фигура F, является частью фигуры F₂, то численное значение площади фигуры F, не больше численного значения площади фигуры F₂, т.е. S(F,) < S(F₂).

В практической деятельности при измерении площадей ис­пользуются стандартные единицы площади: квадратный метр (м²), квадратный сантиметр (см²) и другие. Так, квадратный метр - это площадь квадрата со стороной, равной 1 метру. Между единицами площади существует взаимосвязь. Напри­мер, 1 м² = 100 дм².

4.Площадь многоугольника

Формулы для вычисления площади прямоугольника, тре­угольника, параллелограмма были выведены давно. В геометрии их обосновывают, исходя из определения площади, при этом численное значение площади называют площадью, а численное значение длины отрезка - длиной. Так как теоремы о площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника хорошо известны из школьного курса математики, то рас­смотрим только теорему о площади прямоугольника, доказав ее для случая, когда длины его сторон выражены натураль­ными числами. Такой выбор обусловлен тем, что знакомство с правилом вычисления площади прямоугольника происходит в начальной школе.