Тема 8.1. Аксиоматика Евклидовой геометрии

План лекции:

1. Зарождение геометрии

2. «Начала» Евклида

1 В последние годы наметилась тенденция к включению зна­чительного по объему геометрического материала в началь­ный курс математики. Но для того, чтобы учитель мог позна­комить учащихся с различными геометрическими фигурами (как плоскости, так и пространства), мог научить их правиль­но изображать геометрические фигуры, ему нужна соответст­вующая математическая подготовка. Безусловно, нужны зна­ния об истории возникновения и развития геометрии, так как ученик в процессе развития геометрических представлений проходит, в свернутом виде, основные этапы создания гео­метрической науки. Учитель должен быть знаком с ведущими идеями курса геометрии, знать основные свойства геометри­ческих фигур, уметь их построить.

Геометрия зародилась в Древнем Египте как набор правил решения практических задач, возникавших в строительстве, при распределении земельных участков, измерении площадей, объемов и других величин. Свидетельством этому являются египетские пирамиды, построенные около 4800 лет назад, их строительство требовало достаточно сложных и точных гео­метрических расчетов. Но особенно важной была задача распределения земельных наделов. Этим занимались специаль­ные люди - землемеры, которых греки называли гарпедонаптами, т.е. натягивателями веревок, так как при распределении земли использовались веревки. Но чтобы знать, где и как их натягивать, надо было иметь план полей. Так практическая задача распределения участков земли привела к возникнове­нию науки о землемерии.

Обширные сведения о свойствах фигур, накопленные египтянами, были заимствованы греками. Произошло это в VII. до н.э. А так как особенно важной задачей было землемерие, то греки назвали науку о фигурах геометрией, так как с греческого «геос» - земля, а «метрио» - измеряю.

К сказанному можно добавить, что многие геометрические понятия возникли в результате многократных наблюдений реальных предметов той или иной формы, т.е. познавая окру­жающий мир, люди знакомились и с простейшими геометри­ческими формами. Овладению этим знанием способствовало изготовление орудий, имеющих сравнительно правильную геометрическую форму, строительство жилья, шитье одежды, изготовление посуды, украшений.

Огромное влияние на развитие геометрических представ­лений оказали систематические астрономические наблюдения. Они способствовали возникновению понятий шара, окружно­сти, угла, угловой меры.

Развитие землемерия, обобщение накопленного опыта на­блюдений привело к созданию практических правил измере­ния земельных участков, нахождения площадей и объемов простейших фигур, правил, необходимых для строительства, и др. Так, формулы для вычисления площадей земельных участ­ков, имеющих форму треугольника, трапеции, встречаются у древних египтян, вавилонян. К XVII-XVI вв. до н.э. были установлены такие ее факты, как теорема Пифагора, найдено выражение для подсчета объема шара и многие другие. Но выступали они не как логически доказанные утверждения, а как выводы из опыта.

Таким образом, геометрия возникла как прикладная нау­ка, как собрание правил, необходимых для решения практиче­ских задач: сравнения фигур, нахождения геометрических величин, простейших геометрических построений.

Практические правила постепенно приводились в систему. Кроме того, одни правила стали выводиться из других и обосновываться посредством рассуждений. Возникло доказа­тельство, правила стали превращаться в теоремы, которые доказывались без прямых ссылок на опыт. Вообще совершен­ствование геометрических знаний шло по пути их отделения от опыта - в результате предметом геометрии стали не реаль­ные, а идеальные фигуры, т.е. фигуры, являющиеся образами предметов, в которых абстрагируются от всего, кроме формы. Более того, эти фигуры стали дополняться свойствами, кото­рыми реальные предметы не обладают. Например, понятие прямой, возникшее как отражение такого свойства реальных предметов, как протяженность, было дополнено представле­нием о ее бесконечности.

Получение новых геометрических утверждений при помо­щи рассуждений относится к VI в. до н.э. и связано с именем древнегреческого математика Фалеса. Считают, что им дока­заны свойства равнобедренного треугольника, равенство вер­тикальных углов и ряд других фактов.

К III в. до н.э. геометрия становится дедуктивной наукой, одновременно решая многие практические задачи: дает точно обоснованные правила для построения фигур с заданными свойствами, позволяет различными способами сравнивать фигуры, по одним свойствам фигуры делать выводы о других ее свойствах и т.д.

Основные достижения в области математики были систе­матизированы около 300 лет до н.э. греческим ученым Евкли­дом и изложены в его знаменитом труде «Начала», состоящем из тринадцати книг. Это сочинение является первым дошед­шим до нас строгим логическим построением геометрии.

Каждая книга «Начал» начинается с определений основ­ных понятий.

Так, в книге по геометрии 35 определений. Сре­ди них определения точки, линии, прямой, поверхности:

§ Точка есть то, что не имеет частей.

§ Линия есть длина без ширины.

§ Прямая линия есть та, которая одинаково лежит относи­тельно всех своих точек.

§ Поверхность есть то, что имеет длину и ширину.

Кроме перечисленных даются определения плоского и прямого углов, перпендикуляра, тупого и острого углов, кру­га, окружности, треугольника и его видов, четырехугольника и его видов и др.. Завершает этот список определение парал­лельных прямых: «Параллельные прямые суть те, которые лежат в одной плоскости и, будучи продолженными в обе стороны, нигде не встречаются».

За определениями следует пять постулатовследующего со­держания. Требуется, чтобы:

1) от каждой точки до каждой другой можно было провес­ти прямую;

2) ограниченную прямую можно было продолжить неоп­ределенно;

3) из любого центра можно было описать окружность лю­бым радиусом;

4) все прямые углы были равны;

5) если две прямые при пересечении с третьей образуют с одной стороны внутренние односторонние углы, сумма кото­рых меньше двух прямых, то эти прямые пересекались бы при достаточном продолжении с этой стороны.

Затем формулировались аксиомы:

1.равные одному и тому же третьему также равны и между собой;

2.если к равным прибавить равные, то целые будут равны;

3.если от равных отнять равные, то полученные остатки будут равны;

4.совмещающиеся друг с другом равны;