Тема 3.5.1 Запись чисел в десятичной системе счисления

1. Человеку часто приходится иметь дело с числами, поэтому надо уметь правильно записывать числа и производить над ними действия. В настоящее время используется повсеместно способ записи числа в десятичной системе счисления. Изучение этой темы начинается в начальной школе.

Определение. Система счисления – это язык для наименования, записи чисел и выполнения над ними действий.

Способ «записи» чисел с помощью пальцев, узлов не слишком удобен, т.к. существуют слишком большие числа. Поэтому счет стали вести группами, состоящими из одинакового числа элементов (считали по2, по 3, по 5, по 10, по 20 – люди племени «майя»). В Древнем Вавилоне считали по 60 единиц (185 – это 3 раза по 60 и еще 5).

Наибольшее распространение получила десятичная система записи чисел. Она берет свое начало от счета на пальцах. Возникла в Индии в VI веке. Старинные индийские цифры не всегда были такими. В России распространению десятичной системы способствовала книга педагога – математика Л.Ф. Магницкого, вышедшая в 1703 г на славянском языке. В ней выделено, что нумерация или счисление есть называние словами всех чисел, которые изображаются знаками 0,1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9. 0 – не значащая цифра, если стоит одна.

Существует 2 вида систем счисления: позиционная и непозиционная.

Позиционная система счисления – если один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции) в записи числа.

Примеры: шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления.

Непозиционная система счисления – каждый знак обозначает одно и тоже число, независимо от места в записи числа.

Пример: Римская система счисления: I – 1, V – 5, Х – 10 , L - 50 , C – 100, D – 500, M – 1000.

а правила записи чисел заключаются в следующем:

1) если знак, изображающий меньшее число, стоит после зна­ка, изображающего большее число, то производится сложение этих чисел:

XXV = 10 + 10 + 5 = 25;

MDCL = 1000 + 500 + 100 + 50 = 1650;

2) если знак, изображающий меньшее число, стоит перед зна­ком, изображающим большее число, то производится вычита­ние:

CDIV = 500 - 100 + 5 - 1 = 404;

CMXL = 1 000 - 100 + 50 - 10 = 940.

IV – 4. XC – 90, 193 –( сто + сто без десяти + три) - CXCIII

564 – (500 + 50 + 10 + 4) – DLXIV

2708 – (1000 + 1000 + 500 +100 + 100 + 5 +3) – MMDCCVIII

Для более больших чисел используют букву m слева записи тысяч, справа сотни, десятки, единицы.

133842 – CXXXIII m DCCCXLII

В России до XVII века в основном употреблялась славянская нумерация, тоже непозиционная. Выполнять действия сложно, хотя числа записывать легче, чем с помощью узелков. Поэтому на смену пришла десятичная система счисления.

2. Запись чисел в десятичной системе счисления

Определение. Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде:

Коротко:

Пример: 3745 = 3*10³ + 7*10² + 4*10¹ + 5

Если , то числа 1, 10, 10² …., 10ⁿ называются разрядными единицами (первого, второго , … разряда), причем 10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего (высшего) разряда.

Три первых разряда – I класс – единиц (единицы, десятки, сотни);

Три следующих разряда – II класс – тысяч (единицы, десятки, сотни);

III класс – миллионов (единицы, десятки, сотни);

и т.д.

В 10 – чной системе всем числам можно дать имя. За основу названия первых 10 чисел, путем прибавления других немногих слов получаются другие: 11 – 1 на 10, 20 – 2 десятка и т. д.

Миллион - 10⁶, миллиард - 10⁹, биллион (миллион миллионов) – 10¹², триллион – 10¹⁵, квадриллион – 10¹⁸ и т.д. Чтобы получить название всех натуральных чисел в пределах миллиарда потребуется только 16 различных слов: 1, 2, 3, …,9, 10, 40, 90, 100, 1000, миллион, миллиард, остальные составляются на основе их.

Десятичной записью натурального числа считают сумму разрядных слагаемых

3745 = 3*10³ + 7*10² + 4*10¹ + 5.

3. Алгоритм арифметических действий.

А) Сложение. + 341

7238

341 + 7238 = (3*10² + 4*10¹ + 1) + (7*10³ + 2*10² + 3*10¹ + 8)= на основе коммутативного свойства сложения и ассоциативного свойства = 7*10³ + (3*10² +2*10²)+ (4*10 ¹ +3*10¹) +(1 + 8)= дистрибутивного свойства относительно сложения = 7*10³ + (3+2)10² + (4 +3)10¹ +(1 + 8) = … = 7579

Типовые примеры

Пример 7.1. Определим, сколько единиц и какого разряда содержится в числе х, а также, сколько в этом числе всего це­лых: единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен ты­сяч, если: а) х = 50 208; б) х = 123 745.

Решение, а) В числе 50 208 содержится 8 единиц, 2 единицы
сотен (2 сотни), 5 единиц десятков тысяч (5 десятков тысяч).
В этом числе всего целых: единиц — 50 208;

десятков — 5 020;
сотен — 502;
тысяч — 50;
десятков тысяч — 5.

б) В числе 123 745 содержатся 5 единиц, 4 единицы десятков (4 десятка) , 7 единиц сотен (7 сотен), 3 единицы тысяч (3 ты­сячи), 2 единицы десятков тысяч (2 десятка тысяч) и 1 единица сотен тысяч (1 сотня тысяч).

В этом числе всего целых: единиц — 123 745;

десятков — 12 374; сотен — 1 237;

тысяч — 123;

десятков тысяч — 12;

сотен тысяч — 1.

Пример 7.2. Прочитаем записанные ниже числа и укажем, какие разрядные единицы и каких классов в них отсутствуют: а) 5 126 070 309; б) 10 698 500 770 032.

Решение, а) Число 5 126 070 309 читается как «пять милли­ардов сто двадцать шесть миллионов семьдесят тысяч триста девять». В нем отсутствуют единицы десятков (класс единиц); единицы тысяч и сотен тысяч (класс тысяч).

б) Число 10 698 500 770 032 читается как «десять триллио­нов шестьсот девяносто восемь миллиардов пятьсот миллионов семьсот семьдесят тысяч тридцать два». В нем отсутствуют еди­ницы сотен (класс единиц); единицы тысяч (класс тысяч); еди­ницы миллионов и десятков миллионов (класс миллионов); еди­ницы триллионов(класс триллионов).