Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и производную этой функции. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

F(x, y, y¢ )=0

Условия, заключающиеся в том, что при заданных значениях аргумента значения функции или ее производной должны равняться конкретному числу, называются начальными условиями.

Начальные условия можно записать следующим образом:

y = y₀ при x = x₀ или y|x=x₀ = y₀.

Рассматривая выше распад радиоактивного элемента, мы получили дифференциальное уравнение первого порядка

(1)

т.е. F( t, N, N¢ )=0

Попробуем решить это уравнение. Разделим переменные. Уравнение (1) тогда будет иметь вид:

Проинтегрируем это выражение.

(1а)

Замечание: Имея ввиду дальнейшие преобразования, мы обозначили произвольную постоянную через ln C, что вполне допустимо, т.к. ln C (при C¹0) может принимать любые значения от - ¥ до + ¥.

С полученным выражением (1а) проведем несложные алгебраические преобразования

(2)

Нетрудно проверить, что полученная функция (2) удовлетворяет уравнению (1), каково бы ни было постоянное число C.

Следовательно, данная совокупность функций N = f (t), является решением дифференциального уравнения.

Определение 13. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y = j (x, C), которая зависит от произвольного постоянного C и удовлетворяет следующим условиям

1. обращает в тождество дифференциальное уравнение при любом конкретном C;

2. каковы бы ни были начальные условия y = y₀ при x = x₀ можно найти такое значение C=C₀, что функция y = j (x, C₀) удовлетворяет данным начальным условиям.

Рассмотрим далее наш пример. Зададим начальные условия, в момент t = 0 - т.е. начало радиоактивного распада, число нераспавшихся атомов было N=N₀ . Тогда легко можно найти величину C = C₀, соответствующую данным начальным условиям. Подставляя в выражение (2) вместо N, N₀, а вместо t нуль, имеем

Таким образом, число нераспавшихся атомов зависит от времени по следующему закону

Это выражение есть частное решение дифференциального уравнения.

Определение14. Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция y = j (x, C₀), которая получается из общего решения y = j (x, C), если произвольному постоянному C придать определенное значение C=C₀.

Итак, решить дифференциальное уравнение - значит:

1. Найти его общее решение или общий интеграл (если начальные условия не заданы).

2. Найти то частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям (если таковые имеются).