Дифференциальное уравнение механических колебаний

На всех уровнях организации – от макромолекулярного до популяционного – в биологическихсистемах происходят незатухающие колебания их параметров: ферментативной активности, концентрации метаболитов, параметров, определяющих физиологическое состояние (пульс, смена сна и бодрствования и т.д.). Считается, что любая биологическая система не только может, но и должна быть колебательной. Вот почему колебательным процессам уделяется столь пристальное внимание.

Рассмотрим одну из задач прикладной механики, исследовав, и разрешив ее с помощью линейных дифференциальных уравнений.

Рис. 6.

Пусть, например, тело массой m, подвешено на пружине, жестко закрепленной одним концом (см. рис.6).

Как видно из рис.1 (положение I), вес тела уравновешивается упругой силой пружины, т.е.

F₁ = mg

Если оттянуть пружину, то появятся еще две силы: F - восстанавливающая сила пружины, пропорциональная изменению длины пружины и F_сопр - сила сопротивления среды, пропорциональная скорости движения тела.

Равнодействующая сил, расположенных на одной прямой (положение II) определяется как их алгебраическая сумма :

R = F₁ + F + F_сопр - mg

Исходя из того, что F₁ = mg равнодействующая будет равна

R = F + F_сопр

По второму закону Ньютона

R = ma ;

Следовательно,

(1)

Силу F можно определить по закону Гука

F = - kx, (2)

где k - коэффициент жесткости пружины.

Сила F_сопр пропорциональна скорости движения и направлена противоположно ей:

F_сопр= - r v, (3)

, (4)

где r - коэффициент, характеризующий свойства среды оказывать сопротивление движению.

Подставив (2), (3) и (4) в выражение (1) имеем

;

Разделим обе части на m, и перенесем все члены в одну сторону, получим

(5)

Введем следующие обозначения:

,

Замечание. k и m - величины положительные, следовательно и k/m - тоже величина положительная, поэтому мы вправе обозначить ее квадратом некоторого числа.

Тогда выражение (5) будет иметь вид

или (6)

Итак, решение нашей задачи свелось к решению линейного однородного дифференциального уравнения.

Воспользуемся нашим алгоритмом решения.

1. Напишем характеристическое уравнение

2. Найдем корни этого уравнения

,

3. Запишем общее решение. Как мы знаем, общее решение зависит от того, какого вида получились у нас корни. Поэтому исследуем каждое решение в отдельности.

Допустим, что

1) b > w₀, тогда корни действительные, отрицательные и решение имеет вид

Рис. 7 График, представляющий решение дифф. уравнения при k1 ¹ k2

Как видно, общее решение выражается через показательные функции. Следовательно, смещение x, при любых C₁ и C₂ асимптотически стремится к нулю, при t®¥. Графически это выглядит так(рис. 7)

В данном случае колебаний не будет, т.к. силы сопротивления велики по сравнению с коэффициентом жесткости пружины.

2) b = w₀, тогда корни характеристического уравнения k₁ = k₂ = -b.

Рис. 8. График, представляющий решение дифф. уравнения при k1 = k2

Общее решение, как следует из теории, имеет вид

Здесь также смещение стремится к нулю при t®¥, однако не так быстро, как в предыдущем случае (благодаря наличию сомножителя C₁ + C₂t). Графически это можно представить следующим образом (см. рис.8)

3) b = 0, т.е. отсутствует сила сопротивления, уравнение (6) тогда примет вид

(7)

Дифференциальное уравнение (7) называется уравнением свободных колебаний. Характеристическое уравнение имеет вид ;

Общее решение (8)

Общее решение можно также записать в следующем виде:

x = A cos (w₀t + j₀) ,

Рис. 9. Гармонический колебательный процесс

заменив математические постоянные C₁ и C₂ величинами A и j₀ , имеющими смысловую физическую нагрузку. Эти величины можно легко выразить через C₁ и C₂ следующим образом:

Итак, если отсутствуют силы сопротивления, мы получаем гармонический колебательный процесс, где
x - смещение колеблющейся точки от положения равновесия происходит по косинусоидальному закону. При этом w₀ - есть круговая (циклическая) частота,
A - амплитуда, т.е. максимальное смещение точки от положения равновесия, j₀ - начальная фаза.

4) b < w₀, тогда корни характеристического уравнения комплексные

Обозначив , запишем корни уравнения в виде

k₁ = - b + i w ; k₂ = -b - i w

Тогда решение дифференциального уравнения

x = e ^-bt (C₁ cos wt + C₂ sin wt ).

Введя постоянные A₀, j₀, можно записать решение в виде

x = A₀ e ^-bt cos(wt + j₀).

Рис. 10. Затухающий колебательный процесс

Мы получили дифференциальные уравнения затухающих колебаний, где - круговая частота затухающих колебаний, b - коэффициент затухания. Кроме того мы получили зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

A (t) = A₀ e ^-bt

В результате данного анализа дифференциального уравнения, соответствующего конкретной задаче механических колебаний выяснили, что колебания будут гармоническими, если корни характеристического уравнения мнимые, или затухающими, если корни характеристического уравнения комплексные. В любом другом случае движения будут апериодическими.