ГЛАВА 3. Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения прикладных задач физики, биологии, медицины
Задача 1. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени t. Количество бактерий утроилось в течение 5 часов. Найти зависимость числа бактерий от времени.
Решение. Обозначим количество бактерий в момент времени t через x, тогда - скорость размножения бактерий. По условию задачи - уравнение с разделяющимися переменными. Потенцируем последнее выражение и получаем общее решение нашего дифференциального уравнения. Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям При t=0, x=x0 -частное решение дифференциального уравнения. Чтобы найти искомую зависимость, определим коэффициент пропорциональности k. По условию задачи известно, что через 5 часов . Таким образом Прологарифмируем последнее выражение Окончательно получаем
Задача 2. При прохождении света через вещество происходит ослабление интенсивности светового потока, вследствие превращения световой энергии в другие виды энергии, т.е. происходит поглощение света веществом. Найти закон поглощения, если известно, что ослабление интенсивности пропорционально толщине слоя и интенсивности падающего излучения.
Решение. Исходя из условия задачи, можно сразу написать дифференциальное уравнение , где dI -ослабление интенсивности при прохождении слоя толщиной dx. k -коэффициент пропорциональности. Знак минус показывает, что интенсивность падает по мере прохождения слоя. Проинтегрируем наше уравнение, предварительно разделив переменные
Исходя из того, что падающий на поверхность вещества свет имел интенсивность I=I0 , при x=0, найдем частное решение
Итак, мы получили закон поглощения света веществом ( закон Бугера), где
Задача 3. Известно, что механические свойства биологических объектов изучаются с помощью вязкоупругих моделей (поршень - пружина). Одной из найболее распространенных является модель Кельвина - Фойхта, состоящая из параллельно соединенных пружины и поршня (см. рис.1).
Рис. 4. Модель Кельвина - Фойхта
Найти зависимость деформации от времени , если к модели приложена постоянная нагрузка.
Решение. Согласно условию задачи , и учитывая также, что при малых деформациях выполняется закон Гука, т.е. , а механическое напряжение, возникающее в вязкой среде пропорционально скорости деформации, т.е. , мы можем написать дифференциальное уравнение. , или Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение от начального момента времени и нулевой деформации до текущих значений t и , мы будем иметь сразу частное решение.
Потенцируя последнее выражение, получаем Находим отсюда Как видно из полученной формулы, в рамках модели Кельвина - Фойхта деформация при постоянной нагрузке возрастает с течением времени. Это соответствует реальным материалам. Такое свойство материала названо текучестью.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (5563)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |