Пункт 4. Частотные характеристики

 

Задание. Построить частотные характеристики замкнутой системы и при Построить ЛАЧХ и ЛФХ для разомкнутой системы и определить запасы устойчивости.

 

Передаточная функция разомкнутой системы при имеет вид:

 

 

Передаточная функция замкнутой системы при имеет вид:

 

 

Используя ЦВМ, построим логарифмические характеристики и определим запасы устойчивости исследуемой системы.

 

;

 

Рис. 4. Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы.

 

Рис. 5. Запасы устойчивости разомкнутой системы.

 

Рис. 6. Запасы устойчивости разомкнутой системы на ЛАФЧХ.

 

Таблица 3. Таблица значений для ЛАФЧХ разомкнутой системы.

 

;

 

Рис. 7. Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика замкнутой системы.

Таблица 4. Таблица значений для ЛАФЧХ замкнутой системы.

Пункт 5. Синтез скорректированной системы.

 

Задание. Выбрать структурную схему скорректированной системы и параметры корректирующих устройств из условия обеспечения заданных показателей качества (Т.Т.Т.): и методом желаемых логарифмических характеристик.

 

На основе данных, взятых из приложения 1: , .

 

Подбор и синтез корректирующего устройства методом ЖЛАХ состоит из: 1) построения располагаемой ЛАХ разомкнутой системы; 2) построения желаемой ЛАХ; 3) нахождения ЛАХ корректирующего устройства; 4) синтеза передаточной функции корректирующего устройства по ЛАХ; 5) проверки корректирующего устройства. [ 5 ]

 

5.1. Построение располагаемой ЛАХ разомкнутой системы.

 

Построим располагаемую ЛАХ разомкнутой системы при .

 

По вертикальной оси найдем пересечение с осью : .

 

По горизонтальной оси определим сопрягающие частоты:

 

, ,

, .

 

Построим располагаемую ЛАХ по передаточной функции .

 

Рис. 8. Располагаемая ЛАХ разомкнутой системы.

5.2. Построение желаемой ЛАХ.

 

Желаемая логарифмическая амплитудная частотная характеристика формируется исходя из заданных требований к системе по точности и качеству переходного процесса. Точность задается значениями установившихся ошибок, а качество переходного процесса - величиной перерегулирования и временем регулирования.   Построение желаемой ЛАХ системы производится следующим образом: 1) Низкочастотная часть ЛАХ формируется из условия обеспечения требуемой точности системы в установившемся режиме. Низкочастотная часть желаемой ЛАХ должна иметь наклон и проходить не ниже точки с координатами . 2) Среднечастотный участок желаемой ЛАХ строится из условия обеспечения основных показателей качества переходного процесса – перерегулирования и времени регулирования. Среднечастотный участок проводится с наклоном влево и вправо от частоты среза до достижения модулей, равных и . Частоту среза и требуемые запасы устойчивости по амплитуде и фазе можно определить по номограмме Солодовникова, исходя из заданных значений. Среднечастотный участок желаемой ЛАХ сопрягается с низкочастотным участком прямой с наклоном или . 3) Высокочастотный участок желаемой ЛАХ проводится параллельно высокочастотному участку располагаемой ЛАХ, т. к. область высоких частот содержит сопрягающие частоты, которые не влияют существенно на динамику системы. [ 5 ]

 

Первая точка совпадает с точкой располагаемой характеристики. Вторую точку определим исходя из времени регулирования. Запасы устойчивости (граничные точки среднечастотной характеристики) определим по номограммам Солодовникова.

 

Рис. 9 и 10. Номограммы Солодовникова.

 

Время регулирования

 

Теперь найдем логарифм частоты среза:

 

Построим ЖЛАХ по представленному выше алгоритму. Для сопряжения среднечастотного участка желаемой ЛАХ с низкочастотным участком выберем наклон .

 

Рис. 11. Желаемая ЛАХ.

Составим по построенной ЛАХ (рис. 11) передаточную функцию скорректированной системы. Для этого сначала найдем из построенной ЛАХ нужные нам значения постоянных времени. Постоянные времени определяются формулой . По горизонтальной оси отложены логарифмы частот, поэтому .

 

Найдем передаточную функцию скорректированной системы:

 

 

5.3. Нахождение ЛАХ корректирующего устройства.

 

Для реализации данной системы выберем последовательное корректирующее устройство.

 

Для определения последовательного корректирующего устройства необходимо: 1) По располагаемой передаточной функции построить ЛАХ располагаемой системы. 2) По заданным показателям качества построить ЛАХ желаемой системы. 3) Вычесть из желаемой ЛАХ располагаемую ЛАХ, что позволит найти требуемую ЛАХ последовательного корректирующего устройства. 4) По виду ЛАХ последовательного корректирующего устройства определить его передаточную функцию и схему. [ 5 ]

 

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид: , где – передаточная функция нескорректированной системы, – передаточная последовательного корректирующего устройства.

 

Тогда логарифмическая амплитудная частотная характеристика желаемой (скорректированной) системы имеет вид: Отсюда, логарифмическая амплитудная частотная характеристика последовательного корректирующего устройства имеет вид: .

 

Построим ЛАХ корректирующего устройства по представленному выше алгоритму.

 

Рис. 12. ЛАХ корректирующего устройства.

5.4. Синтез передаточной функции корректирующего устройства по ЛАХ.

 

Составим по построенной ЛАХ (рис. 12) передаточную функцию последовательного корректирующего устройства. Для этого сначала найдем из построенной ЛАХ нужные нам значения постоянных времени:

 

 

Найдем передаточную функцию последовательного корректирующего устройства:

 

 

5.5. Проверка корректирующего устройства.

 

Проверим правильность построения ЛАХ корректирующего устройства и нахождения передаточной функции последовательного корректирующего устройства на основании того, что передаточная функция ПКУ также может быть найдена как отношение передаточных функций скорректированной и нескорректированной систем:

 

 

Получается, что ЛАХ и передаточная функция ПКУ найдены правильно.

 

Теперь проверим соответствие условиям обеспечения заданных показателей качества.

 

Найдем передаточную функцию скорректированной замкнутой системы:

 

 

Проверим устойчивость скорректированной системы с помощью критерия Рауса на ЦВМ.

 

Рис. 13. Проверка устойчивости скорректированной системы на ЦВМ.

Также проверим динамические характеристики системы, для этого построим график переходного процесса скорректированной замкнутой системы.

 

Рис. 14. Переходная функция скорректированной системы.

 

Из графика видно, что величины перерегулирования и времени переходного процесса будут равны:

 

 

Проверим наши расчеты на ЦВМ.

 

Рис. 15. Качество переходного процесса.

 

Таким образом, корректирующее устройство было подобрано правильно и полностью соответствует условиям обеспечения заданных показателей качества (Т.Т.Т.): и .

Пункт 6. Построение переходного процесса.

 

Задание. Построить переходной процесс для скорректированной системы при и сделать вывод о динамических свойствах скорректированной системы, используя обратные преобразования Лапласа.

 

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного называется функция вещественной переменной, такая что: где – некоторое вещественное число; правая часть выражения называется интегралом Бромвича.

 

6.1. Выражение переходной функции.

 

Запишем передаточную функцию скорректированной системы при единичном ступенчатом воздействии:

 

, .

Выразим переходную функцию (в преобразовании Лапласа):

 

 

6.2. Вычисление переходной функции в системе Mathcad.

 

Согласно теореме разложения , где , т. е. определяется отношением свободных членов числителя и знаменателя, – полюса функции, т. е. корни знаменателя.

 

Найдем полюса передаточной функции скорректированной системы.

 

 

Используя формулу теоремы разложения, составим выражение реакции системы на единичную ступенчатую функцию (запишем переходную функцию).

 

Построим график полученной переходной функции.

 

Рис. 16. График переходной функции, построенный в Mathcad.

 

6.3. Построение переходного процесса и проверка динамических свойств системы.

 

Для более точного построения переходной функции воспользуемся интернет-ресурсом.

 

Рис. 17. Переходный процесс в системе.

 

Проверим динамические характеристики системы по построенному выше графику:

 

– время регулирования;

– размер процентной трубки.

Пункт 7. Метод гармонического баланса.

 

Задание. Провести методом гармонического баланса анализ динамических свойств системы при наличии в исполнительном устройстве нелинейности типа релейная.

 

На основе данных, взятых из приложения 1: .

 

Рис. 1. Нелинейность.

 

Операция гармонической линеаризации заключается в замене нелинейного выражения выражением, полученным с помощью преобразования Фурье.   Пусть нелинейный элемент задан функцией вида:   , где , , соответственно .   Разложим в ряд Фурье:     Положим , что означает отсутствие постоянной составляющей в данном разложении.   Выразим и :     Тогда разложение в ряд Фурье примет вид:   , где и – коэффициенты гармонической линеаризации.   Коэффициенты гармонической линеаризации определяются как:

Как и было сказано изначально, нелинейное выражение , где , заменяется выражением , которое с точностью до высших гармоник аналогично линейному. В случае, если нелинейность однозначная то, .   Для применения метода гармонической линеаризации система должна быть приведена к следующему виду:   Рис. 18. Структурная схема САУ с нелинейностью.   Рис. 19. Структурная схема САУ общего вида с нелинейностью.   На рисунке 19 – линейная часть САУ, – нелинейность, приближенная передаточная функция этого нелинейного элемента описывается выражением . Согласно описанной выше теории, передаточная функция нелинейного элемента будет иметь новый вид: .   Известно, что незатухающие синусоидальные колебания с постоянной амплитудой в замкнутой системе могут определяться согласно частотному критерию устойчивости Найквиста прохождением амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы через точку , т. е. равенством .   Это и будет в данном случае условием существования периодического решения для замкнутой нелинейной системы, которое принимается приближенно синусоидальному.   Выразим из равенства выше и получим уравнение гармонического баланса между частотой и амплитудой:     Левая часть уравнения выше представляет собой амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы, а правая – обратную амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена (для первой гармоники), взятую с обратным знаком. Решение этого уравнения можно получить графически как точку пересечения двух указанных характеристик. В точке пересечения из кривой определяем значение частоты, а из кривой – величину амплитуды искомого периодического решения. [ 3 ]

7.1. Поиск решения уравнения гармонического баланса и нахождение частот возможных периодических решений.

 

Передаточная функция линейной части скорректированной системы имеет вид:

 

 

Заменим переменную на и получим выражение для амплитудно-фазовой частотной характеристики:

 

 

Запишем уравнение гармонического баланса:

 

 

Теперь рассмотрим нелинейность системы. Ее комплексный коэффициент усиления равен:

 

 

Т. к. нелинейность однозначная и следовательно отставания по фазе отсутствуют, то комплексная составляющая равна нулю.

 

Годограф обратного инверсного коэффициента для релейной нелинейности имеет вид:

 

Рис. 22. Годограф обратного инверсного коэффициента.

 

 

Чтобы в дальнейшем найти величины частот возможных периодических решений, нужно решить уравнение гармонического баланса относительно , величины амплитуд – относительно . Решить относительно его можно графически. Решениями будут являться точки пересечения годографа линейной части системы с годографом обратного инверсного коэффициента, который полностью лежит на отрицательной части действительной оси.

 

Построим годограф линейной части системы. Чтобы зафиксировать все точки пересечения годографа с действительной осью, построим его в разном масштабе.

 

Рис. 21, 22 и 23. Годограф линейной части системы в разном масштабе.

 

Таблица 5. Значения частотных характеристик годографа линейной части системы.

 

 

На рисунке 23 видна точка пересечения годографа с действительной осью. Проанализируем таблицу 5 и найдем ее приблизительное числовое значение:

 

, .

 

7.2. Поиск решения уравнения гармонического баланса и нахождение амплитуд возможных периодических решений.

 

Найдем коэффициент гармонической линеаризации (комплексный коэффициент усиления):

 

Учитывая, что и , найдем амплитуду возможных периодических решений, решив уравнение гармонического баланса относительно :

 

7.3. Проверка полученного решения на устойчивость.

 

Проверим полученные решения на устойчивость. Для этого придадим каждой амплитуде положительное и отрицательное приращение, если при положительном приращении годограф линейной части системы не охватывает соответствующую этому приращению точку обратного инверсного коэффициента, а при отрицательном приращении охватывает, то решение устойчиво. [ 1 ]

 

Примем :

 

 

Критерий устойчивости выполняется, следовательно решение устойчиво.

 

7.4. Проверка выполнения гипотезы фильтра.

 

Критерий выполнения гипотезы: . [ 4 ]

 

Для частоты получаем:

 

;

;

;

 

Гипотеза фильтра выполняется.