Запись данных компонент в виде тензора напряжений

Курсовая работа

по дисциплине «Механика сплошных сред»

Выполнил:

студент гр. М-438

Ретивов В.А

Проверил:

канд. техн. наук, доцент

Максимук В.С.

Волгоград 2004

Содержание

1. Запись данных компонент в виде тензора напряжений4

2. Вычисление инвариантов тензора напряжений I₁, I₂, I₃4

3. Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений4

4. Вычисление направляющих косинусов нормалей к главным площадкам6

4.1. Вычисление направляющих косинусов нормалей для первой главной площадки6

4.2. Вычисление направляющих косинусов нормалей для второй главной площадки8

4.3. Вычисление направляющих косинусов нормалей для третьей главной площадки9

5. Запись тензора напряжений, заданного компонентами в главных площадках σ_1, σ_2, σ_3. Вычисление гидростатического давления10

6. Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке и в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений11

6.1. Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке на шаровой тензор и девиатор напряжений11

6.2. Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений12

7. Графическое изображение положения произвольно ориентированных площадок относительно главных осей14

8. Вычисление главных касательных напряжений14

9. Вычисление интенсивности напряжений для главных и произвольно ориентированных площадок15

9.1. Вычисление интенсивности напряжений для произвольно ориентированных площадок15

9.2. Вычисление интенсивности напряжений для главных площадок16

10. Вычисление значения нормального и касательного октаэдрических напряжений16

11. Построение по вычисленным главным напряжениям σ_1, σ₂ и σ_3. кругов Мора. Определение графически точку, соответствующую октаэдрической площадке. Сравнить результаты теоретического (аналитического) и графического решений, оценить погрешность17

12. Определение с помощью кругов Мора графически значения нормального и касательного напряжений, действующих на площадке с направляющими косинусами:a₁=0,5; a₂=0,707; a₃=0,517

13. Построение эллипсоида напряжений в главных осях20

14. Сводная таблица напряжений и направляющих косинусов21

Список литературы22
Задание. Исследовать напряжённое состояние в точке сплошной среды, нагруженное внешними силами, заданное компонентами тензора напряжения Тσ (см. таблицу 1).

1. Записать заданные компоненты в виде тензора напряжений.

2. Вычислить инварианты тензора напряжений I₁, I₂, I_3.

3. Составить кубическое уравнение и вычислить главные нормальные напряжения.

4. Вычислить направляющие косинусы нормалей к главным площадкам.

5. Записать тензор напряжений, заданный компонентами в главных площадках σ_1, σ_2, σ_3. Вычислить гидростатическое давление.

6. Разложить тензор напряжений, заданный компонентами в произвольно ориентированной площадке и в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений. Показать, что первый инвариант девиатора напряжений равен нулю.

7. Изобразить графически положение заданных произвольно площадок относительно главных осей.

8. Вычислить главные касательные напряжения.

9. Вычислить интенсивность напряжений для главных и произвольно ориентированных площадок.

10. Вычислить значения нормального и касательного октаэдрических напряжений.

11. По вычисленным главным напряжениям σ_1, σ₂ и σ_3. построить круги МОРА (диаграмму МОРА). Определить графически точку, соответствующую октаэдрической площадке. Сравнить результаты теоретического (аналитического) и графического решений, оценить погрешность.

12. С помощью построенных кругов МОРА определить графически значения нормального и касательного напряжений, действующих на площадке с направляющими косинусами: a₁=0,5; a₂=0,707; a₃=0,5.

13. Построить эллипсоид напряжения в главных осях. Вычисленные значения напряжений, направляющих косинусов свести в таблицу.

Таблица 1 - Компоненты тензора напряжённого состояния в точке сплошной среды (МПа)

Решение

Запись данных компонент в виде тензора напряжений

Подставив численные значения получим:

(МПа).

2. Вычисление инвариантов тензора напряжений I₁, I₂, I₃.

Первый инвариант вычисляется по формуле:

(МПа)

Второй инвариант вычисляется по формуле

(МПа)

Третий инвариант вычисляется по формуле

(МПа)