Вычисление направляющих косинусов нормалей для второй главной площадки

 

Найдем значения и , решив два уравнения системы.

Каждое уравнение системы делим на a’’₃ и вводим обозначение

, .

 

;

.

Подставив численные значения получим

;

.

Найдем значения направляющих косинусов для второй площадки

 

 

Выполним проверку полученных значений

Первую из условия что:

1,0=1,0

 

Вторую из условия что:

0=0

 

Посчитаем значение углов в градусах

α''₁=arcos( )=arcos(-0,341017816)= 109,94°

α ''₂= arcos( )=arcos(-0,082266243)= 94,72°

α''₃= arcos( )=arcos(0,936450273)= 20,54°

 

Вычисление направляющих косинусов нормалей для третьей главной площадки.

 

Найдем значения и , решив два уравнения системы.

Каждое уравнение системы делим на a’’’₃ и вводим обозначение

, .

 

;

.

Подставив численные значения получим

;

.

 

Найдем значения направляющих косинусов для третьей площадки

 

Выполним проверку полученных значений

Первую из условия что:

1,0=1,0

 

Вторую из условия что:

0=0

 

Посчитаем значение углов в градусах

α'''₁=arcos( )=arcos(0,644899559)= 49,84°

α'''₂= arcos( )=arcos(0,704316466)= 45,23°

α'''₃= arcos( )=arcos(0,296720196)= 72,74°

5. Запись тензора напряжений, заданного компонентами в главных площадках σ_1, σ_2, σ_3. Вычисление гидростатического давления.

Тензор напряжений, заданный компонентами в главных площадках σ_1, σ_2, σ₃ запишется в виде

 

 

Подставив значения главных напряжений, получим:

(МПа)

 

Гидростатическое давление вычисляется по формуле:

Подставив значения главных напряжений, получим:

(МПа)

 

Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке и в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений.

 

Тензор напряжений T_σ можно представить в виде двух слагаемых

,

где - среднее напряжение;

T_σ° - шаровый тензор напряжений;

D_σ – девиатор напряжений.

 

Шаровый тензор определяет напряженное состояние всесторон­него растяжения или сжатия, которое вызывает лишь чисто упругое изменение объёма тела без изменения его формы.

Девиатор напряжений определяет напряжённое состояние, вызы­вающее пластическое формоизменение твёрдого тела без изменения его объёма, Особенностью девиатора является равенство нулю его первого инварианта I₁(D_σ).

 

Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке на шаровой тензор и девиатор напряжений.

(МПа)

 

Покажем, что первый инвариант девиатора напряжений равен нулю.

Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений.

 

Покажем, что первый инвариант девиатора напряжений равен нулю.

 

= +

= +

Рисунок 1 - Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке на шаровой тензор и девиатор напряжений.

= +

= +

Рисунок 2 - Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений.