Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел
1 замечательный предел. при u o при x o Справедливы формулы: 1) 3) 2) 4) При помощи 1 замечательного предела раскрывается неопределенность Пример: 1) Замечательный предел e 2,7182 , где при , Справедливы формулы 1) 3) 2) Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами. Число называется правым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 1). Правый предел обозначается Число называется левым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 2). Левый предел обозначается Геометрический смысл. Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке. Предел функции в точке существует и равен , если для любой -окрестности точки можно указать такую -окрестность точки , что для любого из этой -окрестности значение будет находится в -окрестности точки . Отметим, что по определению предела функции в точке для существования предела при не важно, какое значение принимает функция в самой точке . Можно привести примеры, когда функция не определена при или принимает значение, отличное от . Тем не менее, предел может быть равен . Теоремы о пределах 1. Бесконечно большие и бесконечно малые. Функция f(x) стремится к бесконечности при x стремящимся к a, если для любого M > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству |x-a| < dимеет место неравенство |f(x)| > M. limx® a=¥ 2. Функция ограниченная при x® a. 3. Функция ограниченная при x® ¥. 4. Теорема. Если limx® a f(x)=b, то функция f(x) ограниченная при x® a. 5. Бесконечно малые и их свойства. limx® a a(x)=0 Теорема. 1. Если f(x)=b+a, где a - б.м. при x® a, то limx® a f(x)=b и обратно, если limx® af(x)=b, то можно записать f(x)=b+a(x). Теорема. 2. Если limx® a a(x)=0 и a(x) ¹ 0, то 1/a® ¥. Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м. Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м. 6. Теоремы о пределах. Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов. Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов. Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0). Теорема. 4. Если u(x) £ z(x) £ v(x), и limx® a u(x)=limx® a v(x)=b, то limx® a z(x)=b. ("Теорема о двух милиционерах"). 7. Первый замечательный предел. при n® ¥ имеет предел, заключенный между 2 и 3. 25.Понятие предела функции на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Замечательный предел. Определение: функция y=f(x)-называется бесконечно малой если Lim f(x)=0 или lim f(x)=0 Определение: функция y=f(x)- называется бесконечно большой если: Lim f(x)=∞ или lim f(x)=∞
1)Если f(x)- бесконечно малой, то – бесконечно большой Lim f(x)=0, то lim = =∞ 2) Если f(x)- бесконечно большой, то – бесконечно малой Lim f(x)=∞, то lim = =0 Свойства пределов Пусть lim f(x) и lim g(x) – существуют 1)lim (f(x)±g(x))=lim f(x)+lim g(x) 2)lim (f(x)·g(x))=lim f(x)·lim g(x) 3)lim = (lim g(x)≠0) 4) lim c=c (c-число)
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2355)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |