Производная сложной функции

Пример

31) Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя.

1) Основные теоремы дифференциального исчисления:

1.1) (ax)’ = a(x)’

1.2) (u+v)’ = u’ + v’

1.3) (u*v)’=u’*v+u*v’

1.4) (u/v)’=

2) Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределённостей вида или при вычисления пределов.

Теорема (Правило Лопиталя) Если функции f(x) и g(x) дифференцируема в некоторой точке и ее окрестности и существуют пределы

Lim f’(x) и Lim g’ (x),

x-> x->

=

37) Понятие функции нескольких переменных. Частные произведения 1-гопорядка ФНП. Полный дифференциал ФНП. Частные произведение высших порядков ФНП.

Если каждой точке М(х,у) ? D ставится в соответствие единственное число Ƶ=(x,y),то говорят что на множестве D задана функция двух переменных

Множества D называется областью определения функции Ƶ(это все точки с координатами (х,у) которые можно подставить в формуле и получить Ƶ)

Множество Е-называется областью значении (это все значения Ƶ которые получаются).

Ƶ=f(x,y)

Функция многих переменных

Производная первого порядка функции многих переменных

 

Частной производной по переменной х функции Ƶ=f(x,y) называется предел

Обозначается производной: или

Частной производной по у называется

Обозначается : или

Пример: найти частные производные и функции

Решение

= =

0-0=

=

5-0=

Производная ФМП высшего порядка

Определение:Частными производными второго порядка функции Ƶ=f(x,y) называются частные производные ее частных производных

Найти частные производные второго порядка

=

Решение:

1.Найдем и

= = =

= =

2.Найдем ; ; ;

= = = =6x

= = = =2

= = = =6 y

= = = =6 y

Теорема: (Шварца)

 

 

Монотонность и экстремумы функций. Признак монотонности функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.

Монотонность

Если функция f(x) непрерывна и имеет производную на интервале (а,в), то функция f(x) – возрастает (убывает) на (а,в) если f’(x)>0 (f’(x)<0) на (а,в)

 

Замечание: промежутки возрастания и убывания называются промежутками монотонности

Экстремум

Определение: Точка -точка максимума функции на (а,в) если для vxe(a,в) f( )>f(x)

 

Определение: Точка -точка минимума f(x) на (а,в) если для vxe(a,в) f( )<f(x)

 

Определение: Точки, в которых производна функции f(x) равно нулю или не существует называются критическими

Если f’(x) проходя через критическую точку меняет свои знак с:

А) «+» на «-», то -точка max

Б) «-» на «+», то -точка min

 

Определение: Значение функции в точках max и min называется экстремумом функции.

 

35. Выпуклость и перегиб.

Определение:

График функции f(x) называется выпуклым вверх на интервале (a,b) находятся выше.

График функции f(x) называется выпуклым вниз, если все касательные ниже.

Точки функции f(x) в которых меняет перегиб f(x) называется точками перегиба.

Теорема

Если F’’ (x)< 0 на (a,b), то график функции f(x) на этом интервале имеет выпуклость вверх.

Если F’’ (x)>0, то F(x) – выпуклость вниз на (а,в)

 

Определение:

Если проходя через точку F’’(x) меняет знак С “+” на “-“ или наоборот, т - точка перегиба

 

Пример:

Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции y=

Решение:

1. Найдем у’’

Y’ = (

Y’’ = (5

2. Найдем точки в которых F’’(x)=0

20

X=0

3. Найдем знаки F’’(x) на промежутках и определим интервалы выпуклости и точки перегиба

 

X=0 – точка перегиба

x

x

Понятие первообразной, понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.