Метод узловых и контурных уравнений

1 Выбираем произвольно направления токов в ветвях (рис.1.45)

2Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа для определения токов в ветвях. Так как в схеме три ветви, то то необходимо составить три уравнения: по первому закону Кирхгофа – одно уравнение (на единицу меньше числа узлов) и по второму закону Кирхгофа недостающее число уравнений, т.е. два уравнения.

Система уравнений для расчёта токов имеет вид:

{I1 – I2 – I3 = 0 (для узла В) (1)

{E1+E2 = I1 (R1+r01+R2+R3)+ I2 (R4+r02) (2)

{-E2 = -I2 (R4+r02) + I3 (R5+R6+R7) (3)

 

В уравнении (1) притекающие к узлу В токи принимают положительными, оттекающие от узла токи – отрицательными. В уравнении (2) и (3) все ЭДС и напряжение, совпадающие с напряжениями обхода по контуру (по часовой стрелке), записывали положительными, не совпадающие – отрицательными.

Решая полученную систему уравнений, найдём токи в ветвях. Подставим значения ЭДС и сопротивлений:

I1 – I2 – I3 = 0

40+20 = I1 (15+1+27+5) +I2 (2+15)

-20 = -I2 (15+2) + I3 (12+10+5)

 

I1 – I2 – I3 = 0 (4)

60 = I1*48+I2*17 (5)

-20 =-I2*17+I3 =27 (6)

 

Выразим I1 из (5) -го уравнения, I3 из (6) -го уравнения

 

I1 – I2 – I3 = 0

48 I1 = 60 – 17 I2

27 I3 = - 20+17 I2

 

I1 – I2 – I3 = 0

I1 = 60 – 17 I2 / 48 = 60 /48 – 17 / 48 I2 = 1,25 – 0,35 I2 (7)

I3 = -20+17 I2 / 27 = -20 / 27+17 / 27 I2 = -0,74+0,63 I2 (8)

 

Подставим полученные значения I1 и I3 в (4)-е уравнение:

 

(1,25 – 0,35 I2) – I2 – (-0,74+0,63 I2) = 0

1,25 – 0,35 I2 – I2+0,74 – 0,63 I2 = 0

-0,35 I2 – I2 – 0,63 I2 = -0,74 – 1,25

-1,98 I2 = -1,99

I2 = -1,99 / -1,99 » 1А

 

Подставим найденное значение тока I2 в уравнение (7) и (8), и определим токи I1 и I3

 

I1 = 1,25 – 0,35 I2 = 1,25 – 0,35*1 =0,9 A

I3 = -0,74+0,63 I2 = -0,74+0,63*1 = -0,11

 

Рассмотренный метод в большинстве случаев является громоздким. Для упрощения расчёта разработаны методы, в основе которых также положены уравнения Кирхгофа, но количество уравнений сокращено.

1.3.2.2 Определим токи в ветвях методом контурных токов. Считаем, что в каждом независимом контуре схемы (рис 1.45) течёт свой контурный ток Iк1, Iк2. Выбираем направления токов в одну сторону, по часовой стрелке.

Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов. Направление обхода контуров примем совпадающими с направлением контурных токов. Определим контурные ЭДС:

EI = E1+E2 = 40+20 = 60 B

EII = -E2 = -20B

Это алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур.

Определим собственные сопротивления контуров:

RI = R1+R2+R3+R4+r01+r02 = 15+27+5+15+1+2 = 65 Ом

RII = R4+R5+R6+R7+r02 = 15+12+10+5+2 = 44 Ом

Оно определяется как алгебраическая сумма всех сопротивлений , входящих в контур.

Общим для контуров является сопротивление (R4+r02).

Составим систему уравнений :

EI = Iк1*RI – Iк2*(R4+r02) (9)

EII = Iк2*RII – Iк1 *(R4+r02) (10)

В уравнении (9) слагаемое Iк2*(R4+r02) записывается со знаком минус, так как из-за второго контурного тока на общих сопротивлениях (R4+r02) создаётся падение напряжения, причём направление токов Iк2 и Iк1 на этих сопротивления не совпадают.

Аналогично в уравнении (10) из-за тока Iк1 создаётся падение напряжения на общих сопротивлениях (R4+r02).

 

 

Подставим известные значения сопротивлений и ЭДС:

60 = Iк1 *65 - Iк2 *(15+2)

-20 = Iк2*44 – Iк1*(15+2)

 

60 = Iк1 *65 - Iк2 *17 (11)

-20 = Iк2*44 – Iк1*17 (12)

 

выразим из (11)-го уравнения Iк1 и подставим его значения в (12)-ое уравнение:

 

65 Iк1 = 60 + 17Iк2

-20 = 44Iк2 – 17 Iк1

 

Iк1 = 60+17 Iк2 /65 = 60/65+17Iк2 /65 = 0,92+0,26 Iк2

-20 = 44 Iк2 – 17Iк1

 

-20 = 44 IК2 – 17(0,92+0,26 IK2)

-20 = 44 IK2 – 15,64 – 4,42 I K2

-20+15,64 = 44 IK2 – 4,42 IK2

-4,36 = 39,58 IK2

IK2 = -4,36 / 39,58 = -0,11 A

 

Из уравнения (13) определим IK1:

 

IK1 = 0,92+0,26 IK2 = 0,92+0,26 (-0,11) = 0,89 A

 

Определяем действительные токи в ветвях.

Ток в ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих в зтой же ветви.

Рассчитываем значения токов в ветвях схемы (рис. 1.2), сравнивая направления контурных токов в ветвях с направлением действующих токов:

 

I1 = IK1 = 0,89 A

I2 = IK1 – IK2 =0,95 – (-0,11) = 1,1 A

I3 = IK2 =-0,11 A

1.3.2.3.Определим токи методом наложения токов.

При решении этим методом из схемы поочерёдно исключаем по одному источнику ЭДС. Тогда схема решается как простая схема с одним источником ЭДС и смкшанным соединением сопротивлений. Токи в такой схеме называются частичными. Исключаем из схемы источник Е1:

Рисунок 1.46

 

Вычислим эквивалентное сопротивление цепи:

 

R123, r02 = R1+R2+R3+r02 = 15+27+5+2 = 49 Ом

R123567, r02 = R123, r02*R567 / R123, r02+R567 = 49*27 / 49+27 = 1323 / 76 = 17,41 Ом

R = R123567, r02+R4 = 17,41+15 = 32,41 Ом

 

По закону Ома для полной цепи, общей для данной схемы ток I2’ определяется:

 

I2’ = E2 / R+r02 = 20 / 32,41+2 = 0,58 A

 

Для определения токов I1’ и I3’ найдём падение напряжения на участке АВ.

 

UAB = I2’*R123567, r02 = 0,58*17,41 = 10,1 B

I1’ = UAB / R123, r02 = 10,1 / 49 = 0,21 A

I3’ = UAB / R567 = 10,1 / 27 = 0,37 A

 

Исключим из схемы источник Е2:

Рисунок 1.47

 

Вычислим эквивалентное сопротивление цепи:

 

R567 = R5+R6+R7 = 12+10+5 = 27 Ом

R4,r02 = R4+r02 = 15+2 = 17 Ом

R4567,r02 = R567*R4,r02 / R567+R4,r02 = 27*17 / 27+17 = 459/44 = 10,43 Ом

R = R4567,r02+R1+R2+R3= 10,43+15+27+5 = 57,43 Ом

По закону Ома для полной цепи общий для данной схемы I1’’ определиться:

 

I1’’ = E1/R+r01 = 40/57,43+1 = 0,68 A

Для определения токов I2’’ и I3’’ найдём падение напряжения на участке СД:

 

UСД = I1’’ R4567,r02 = 0,6810,43 = 7,09 B

I2’’ = UСД/R4,r02 = 7,09/17 = 0,42 A

I3’’ = UСД/R567 = 7,09/27 = 0,26 A

 

Вычислим действительные токи в ветвях наложением частичных токов с учётом их направления:

 

I1 = I1’+I1’’ = 0,21+0,68 = 0,89 A

I2 = I2’+I2’’ = 0,58+0,42 = 1 A

I3 = I3’ – I3’’ = 0,26 – 0,37 = -0,11 A

Действительное направление тока I3 противоположно заданному (об этом свидетельствует знак “минус”)

 

1.3.2.4 Составим баланс мощностей

на основании закона сохранения энергии количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в сопротивлениях цепи, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источниками питания.

Уравнение баланса мощностей:

Pи = Pп+Pо

где Pи = ЕI – мощность источника энергии;

Pп = I*I*R – мощность потребителя энергии;

Pо = I*I*r – мощность потерь.

В нашем случае:

Pи = E1*I1+E2*I2 = 40*0,89+20*1 = 35,6+20 = 55,6 Вт

 

Pп = I1*I1(R1+R2+R3) + I2*I2*R4+I3*I3 (R5+R6+R7) = 0,89*0,89 (15+27+5) +

+1*1*15+(-0,11)*(-0,11)*12+10+5) = 0,79*47+15+0,012*27 = 37,13+15+0,324 = 52,45 Вт

 

Pо = I1*I1*r01+I2*I2*r02 = 0,89*0,89*1+1*1*2 = 0,79+2 = 2,79 Вт

 

55,6 = 52,45+2,79

 

55,6 = 55,24

 

Расхождение в результатах вычислений не превышают 1%, это означает, что токи рассчитаны правильно.