Сравнение функций и основные эквивалентности
Классификация простейших элементарных функций Простейшими элементарными функциями обычно называют линейную (y=kx+b), квадратичную (y=ax2+bx+c), степенную (y=xn, где n целое число, не равно 1), показательную (y=ax,где a больше 0 и не равно 1), логарифмическую (y=loga x, где a больше 0 и не равно 1), тригонометрические (y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x), обратные тригонометрические К элементарным функциям относятся основные элементарные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и суперпозиций. Выделим классы функций, которые получены из элементарных:
Понятие одностороннего предела Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва). Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный. Число A1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство Число A2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство Предел слева обозначается предел справа – Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0обычно опускают первый нуль: и . Так, для функции 11. Понятие предела на бесконечности Теоремы о пределах Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве)Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают. Þ . Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве)Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x). Þ . Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной. . Доказательство. f(x)=с, докажем, что . Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое положительное число. Тогда при . Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке. Доказательство. Предположим противное. Пусть и . По теореме о связи предела и бесконечно малой функции: f(x)-A= - б.м. при , f(x)-B= - б.м. при . Вычитая эти равенства, получим: B-A= - . Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем: B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему. Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов. . Доказательство. Пусть , , . Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции: где - б.м. при . Сложим алгебраически эти равенства: f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)= , где б.м. при . По теореме о связи предела и б.м. функции: А+В-С= . Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов. . Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела. . Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при , причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов. , . Замечательные пределы Так называют следующие равенства: Они замечательны тем, что помогают вычислению многих других пределов. Сравнение функций и основные эквивалентности
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1178)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |