Определение непрерывности в точке

Функция называется непрерывной в точке , если:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

Пусть функция определена на некотором интервале , для которого -- внутренняя точка. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть Пусть функция определена на некотором полуинтервале , для которого -- левый конец. Функция называется непрерывной справа в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть Пусть, наконец, функция определена на некотором полуинтервале , для которого -- правый конец. Функция называется непрерывной слева в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Из теоремы о связи двустороннего предела с односторонними (теорема 2.1) сразу следует, как уже отмечалось в главе 2, что имеет место следующее предложение.

Функция тогда и только тогда непрерывна в точке , когда она непрерывна в точке справа и слева, то есть когда выполнены следующие условия:

1) функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки;

2) существует предел значений функции слева: ;

3) существует предел значений функции справа: ;

4) эти два предела совпадают между собой и со значением функции в точке : .

Рис.3.1.Функция непрерывна: пределы слева и справа совпадают с

Точка , в которой функция непрерывна, называется точкой непрерывности функции ; так же определяются точки непрерывности слева и справа.

Свойства непрерывных функций на отрезке

Классификация точек разрыва

Устранимый разрыв.

Он имеет место, когда выполнено условие

.

В данном случае достаточно изменить значение функции в точке x₀, чтобы разрыва не стало.

Рис. 2.1 Вид устранимого разрыва

Разрыв первого рода (скачок).

Разрыв первого рода (скачок) получается тогда, когда односторонние пределы и существуют, конечны, но не равны между собой,то есть .

Вид функции в случае разрыва первого рода приведен на рис. 2.2.

Рис. 2.2 Вид разрыва первого рода.

Разрыв второго рода.

Если хотя бы один из и равен ¥± или не существует, то говорят, что функция f(x) имеет в точке x₀ разрыв второго рода.

Вид разрывов второго рода очень разнообразен. Пример такого разрыва приведен на рис. 2.3. На нем изображен случай, когда f(x₀ – 0) конечен, а f(x₀ + 0) равен +¥.

Рис. 2.3. Пример разрыва второго рода.